Để chứng minh các biểu thức đã cho luôn dương với mọi giá trị của biến, chúng ta sẽ xem xét từng biểu thức một.

### a. \( A = x^2 + 6x + 12 \)

Biểu thức này là một đa thức bậc hai. Ta có thể tính nghiệm của nó bằng công thức nghiệm hoặc hoàn thành bình phương:

\[
A = (x^2 + 6x + 9) + 3 = (x + 3)^2 + 3
\]

Vì \((x + 3)^2 \geq 0\) với mọi \(x\), nên \(A \geq 3 > 0\).

### b. \( B = 3x^2 - 12x + 15 \)

Cũng là một đa thức bậc hai. Chúng ta có thể tìm giá trị nhỏ nhất:

\[
B = 3(x^2 - 4x) + 15
\]
\[
= 3((x - 2)^2 - 4) + 15 = 3(x - 2)^2 + 3
\]

Vì \(3(x - 2)^2 \geq 0\), do đó \(B \geq 3 > 0\).

### c. \( C = x^4 - 6x^2 + 10 \)

Để chứng minh \(C\) dương, một lần nữa ta có thể hoàn thành bình phương:

\[
C = (x^4 - 6x^2 + 9) + 1 = (x^2 - 3)^2 + 1
\]

Vì \((x^2 - 3)^2 \geq 0\), nên \(C \geq 1 > 0\).

### d. \( D = x^4 + 4x^2 + 2 \)

Chúng ta cũng có thể hoàn thành bình phương:

\[
D = (x^4 + 4x^2 + 4) - 2 = (x^2 + 2)^2 - 2 + 2
\]
\[
= (x^2 + 2)^2
\]

Vì \((x^2 + 2)^2 \geq 0\) với mọi \(x\), do đó \(D > 0\).

### e. \( E = (x+2)^2 + (x-2)^2 \)

Tính trực tiếp:

\[
E = (x+2)^2 + (x-2)^2 = (x^2 + 4x + 4) + (x^2 - 4x + 4) = 2x^2 + 8
\]

Vì \(2x^2 \geq 0\) với mọi \(x\), nên \(E \geq 8 > 0\).

### f. \( F = (3x-2)^2 + (4x+2)^2 \)

Tính trực tiếp:

\[
F = (3x - 2)^2 + (4x + 2)^2 = (9x^2 - 12x + 4) + (16x^2 + 16x + 4)
\]
\[
= 25x^2 + 4 > 0
\]

### g. \( G = X^2 + Y^2 + 2X - 4Y + 9 \)

Hoàn thành bình phương:

\[
G = (X^2 + 2X + 1) + (Y^2 - 4Y + 4) + 4 = (X + 1)^2 + (Y - 2)^2 + 4
\]

Vì \((X + 1)^2 \geq 0\) và \((Y - 2)^2 \geq 0\), do đó \(G \geq 4 > 0\).

### h. \( H = 2x^2 + y^2 + 2xy + 2x - 4y + 19 \)

Ta có thể nhóm lại:

\[
H = 2(x^2 + x) + (y^2 + 2xy - 4y) + 19
\]

Hoàn thành bình phương cho \(y\):

\[
= 2\left(x^2 + x \right) + (y^2 + 2xy - 4y + 4 - 4) + 19
\]
\[
= 2\left(x^2 + x \right) + (y + x - 2)^2 + 15
\]

Vì \(2\left(x^2 + x\right) \geq 0\) và \((y + x - 2)^2 \geq 0\), do đó \(H \geq 15 > 0\).

### Kết luận

Tất cả các biểu thức đều có giá trị dương với mọi giá trị của biến.