Để giải hệ phương trình:

1. \(\frac{7}{\sqrt{x-7}} - \frac{4}{\sqrt{y+6}} = \frac{5}{3}\)
2. \(\frac{5}{\sqrt{x-7}} + \frac{3}{\sqrt{y+6}} = \frac{2}{6}\)

Đầu tiên, ta đặt:
- \(a = \sqrt{x - 7}\)
- \(b = \sqrt{y + 6}\)

Hệ phương trình trở thành:

1. \(\frac{7}{a} - \frac{4}{b} = \frac{5}{3}\)
2. \(\frac{5}{a} + \frac{3}{b} = \frac{1}{3}\)

Giải từng phương trình:

**Phương trình thứ nhất:**
\[
\frac{7}{a} - \frac{4}{b} = \frac{5}{3}
\]
Nhân cả hai vế với \(3ab\):
\[
21b - 12a = 5ab
\]
Sắp xếp lại:
\[
5ab - 21b + 12a = 0 \quad \text{(1)}
\]

**Phương trình thứ hai:**
\[
\frac{5}{a} + \frac{3}{b} = \frac{1}{3}
\]
Nhân cả hai vế với \(3ab\):
\[
15b + 9a = ab \quad \text{(2)}
\]

Bây giờ ta có hệ (1) và (2). Từ (2), ta có:
\[
ab - 15b - 9a = 0 \quad \text{(2)}
\]

Giải hệ phương trình bằng cách loại trừ hoặc thế:

Từ (2), ta giải \(b\):
\[
b = \frac{9a}{a - 15}
\]

Thay giá trị của \(b\) vào (1):
\[
5a\left(\frac{9a}{a - 15}\right) - 21\left(\frac{9a}{a - 15}\right) + 12a = 0
\]
Tiến hành rút gọn và giải phương trình tới cùng.

Sau khi giải xong, tìm các giá trị của \(a\) và \(b\), và sau đó quay lại để tính giá trị của \(x\) và \(y\):
\[
x = a^2 + 7
\]
\[
y = b^2 - 6
\]

Cuối cùng, bạn sẽ có \((x, y)\).