Tính tỉ số lượng giác

Để giải phương trình \( \sin(2x + 40^\circ) = \frac{1}{2} \) và \( \sin(2x - 10^\circ) = \sin(x - 10^\circ) \), chúng ta sẽ lần lượt xử lý từng phương trình.

### Phương trình 1: \( \sin(2x + 40^\circ) = \frac{1}{2} \)

Giá trị của \( \sin \theta = \frac{1}{2} \) xảy ra tại các góc:
\[
\theta = 30^\circ + k \cdot 360^\circ \quad \text{hoặc} \quad \theta = 150^\circ + k \cdot 360^\circ \quad (k \in \mathbb{Z})
\]
Vậy ta có:
1. \( 2x + 40^\circ = 30^\circ + k \cdot 360^\circ \)
2. \( 2x + 40^\circ = 150^\circ + k \cdot 360^\circ \)

Từ phương trình 1:
\[
2x = 30^\circ - 40^\circ + k \cdot 360^\circ
\]
\[
2x = -10^\circ + k \cdot 360^\circ
\]
\[
x = -5^\circ + 180^\circ k
\]

Từ phương trình 2:
\[
2x = 150^\circ - 40^\circ + k \cdot 360^\circ
\]
\[
2x = 110^\circ + k \cdot 360^\circ
\]
\[
x = 55^\circ + 180^\circ k
\]

### Phương trình 2: \( \sin(2x - 10^\circ) = \sin(x - 10^\circ) \)

Theo tính chất của hàm sin, nếu \( \sin A = \sin B \) thì:
\[
A = B + n \cdot 360^\circ \quad \text{hoặc} \quad A = 180^\circ - B + n \cdot 360^\circ
\]

Thay \( A = 2x - 10^\circ \) và \( B = x - 10^\circ \):
1. \( 2x - 10^\circ = x - 10^\circ + n \cdot 360^\circ \)
2. \( 2x - 10^\circ = 180^\circ - (x - 10^\circ) + n \cdot 360^\circ \)

Xử lý phương trình 1:
\[
2x - 10^\circ = x - 10^\circ + n \cdot 360^\circ
\]
\[
x = n \cdot 360^\circ
\]

Xử lý phương trình 2:
\[
2x - 10^\circ = 180^\circ - x + 10^\circ + n \cdot 360^\circ
\]
\[
2x + x = 180^\circ + n \cdot 360^\circ
\]
\[
3x = 190^\circ + n \cdot 360^\circ
\]
\[
x = \frac{190^\circ + n \cdot 360^\circ}{3}
\]

### Giải hệ phương trình

Bây giờ, chúng ta có 4 trường hợp cho \( x \):
1. \( x = -5^\circ + 180^\circ k \)
2. \( x = 55^\circ + 180^\circ k \)
3. \( x = n \cdot 360^\circ \)
4. \( x = \frac{190^\circ + n \cdot 360^\circ}{3} \)

Tìm các giá trị của \( x \) thỏa mãn tất cả các phương trình trên.

Để đơn giản, ta thử một vài giá trị của \( k \) và \( n \):

Thử \( n = 0 \):
- Với \( k = 0 \): \( x = -5^\circ \) không thỏa mãn.
- Với \( k = 0 \): \( x = 55^\circ \).

Thử \( n = 0 \) cho phương trình thứ hai:
\[
x = \frac{190^\circ}{3} \approx 63.33^\circ \text{ (không thỏa mãn)}
\]

Thử \( n = 1 \):
\[
x = \frac{190 + 360}{3} = \frac{550}{3} \approx 183.33^\circ \text{ (có thể thỏa mãn)}
\]

Cuối cùng từ phương pháp thử và kiểm, ta tìm ra các giá trị thỏa mãn. Các nghiệm chính xác của hệ là:
- \( x = -5^\circ, 55^\circ, 183.33^\circ \)

### Kết luận

Nghiệm của hệ phương trình là các giá trị \( x = -5^\circ + 180^\circ k \) và \( x = 55^\circ + 180^\circ k \) với \( k \in \mathbb{Z} \).