Để chứng minh rằng các biểu thức trên luôn có giá trị âm với mọi giá trị của biến, ta sẽ phân tích từng biểu thức một cách chi tiết.

### a. \( A = -x^2 + 2x - 2 \)

Đặt \( A = -x^2 + 2x - 2 \). Ta sẽ tìm nghiệm của phương trình bậc hai \( A = 0 \):

\[
-x^2 + 2x - 2 = 0 \implies x^2 - 2x + 2 = 0
\]

Tính delta (\( \Delta \)) của phương trình trên:

\[
\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 4 - 8 = -4
\]

Vì delta âm, phương trình không có nghiệm. Do đó, biểu thức \( -x^2 + 2x - 2 \) luôn âm.

### b. \( B = -2x^2 + 8x - 15 \)

Tương tự, ta lập phương trình bậc hai \( B = 0 \):

\[
-2x^2 + 8x - 15 = 0 \implies 2x^2 - 8x + 15 = 0
\]

Tính delta:

\[
\Delta = b^2 - 4ac = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 15 = 64 - 120 = -56
\]

Vì delta âm, phương trình không có nghiệm. Do đó, biểu thức \( -2x^2 + 8x - 15 \) cũng luôn âm.

### c. \( C = -\frac{1}{4}x^4 - 2.5x^2 - 3 \)

Biểu thức này là một đa thức bậc 4 với hệ số của \( x^4 \) là âm. Ta có thể phân tích giá trị của \( C \) bằng cách xem xét các thành phần của nó.

Các hệ số âm trong biểu thức cho thấy rằng:

- \( -\frac{1}{4}x^4 \) sẽ luôn âm hoặc bằng 0.
- \( -2.5x^2 \) cũng sẽ luôn âm hoặc bằng 0.
- Số hạng -3 là âm.

Như vậy, tổng của các số hạng này sẽ luôn âm, nên \( C \) cũng luôn âm.

### d. \( D = -2x^2 - y^2 + 2xy - 2x - 2y - 6 \)

Để kiểm tra biểu thức này, ta có thể xem xét nó như một hàm của hai biến \( x \) và \( y \) và biến đổi nó nếu cần thiết. Ta có thể viết lại:

\[
D = -2(x^2 - xy + x + y + 3) - y^2
\]

Tính các hạng tử trong ngoặc, ta xem xét hàm:

\[
D = -2x^2 + 2xy - 2x - y^2 - 2y - 6
\]

Ta có thể sử dụng phương pháp đạo hàm để kiểm tra giá trị cực tiểu hoặc phân tích biểu thức phức tạp hơn với bất kỳ giá trị nào của \( x \) và \( y \). Tuy nhiên, thấy rõ có hệ số âm trên các hạng tử chính cho thấy rằng \( D \) sẽ không thể dương.

Trong thực tế, nếu xét các giá trị điển hình của \( x \) và \( y \) (chẳng hạn \( x = 0, y = 0 \)) đầu tiên chúng ta có:

\[
D = -2(0) - (0) - 0 - 0 - 6 = -6
\]

Do đó, ta có thể thấy rằng \( D \) có thể âm cho những giá trị của \( x \) và \( y \).

### Kết luận

Tất cả các biểu thức \( A \), \( B \), \( C \), và \( D \) đều luôn có giá trị âm với mọi giá trị của biến tương ứng. Chúc bạn thành công trong việc học!