Để chứng minh các kết quả trong bài toán trắc nghiệm hình học, ta sẽ lần lượt đi qua từng yêu cầu một.

### 1. Chứng minh: Tứ giác AMCN là hình bình hành.

Để chứng minh tứ giác AMCN là hình bình hành, ta cần chứng minh rằng hai cặp cạnh đối diện của nó bằng nhau.

- **Xét các điểm**:
- M là trung điểm của AB, tức là \( AM = MB \).
- N là trung điểm của CD, tức là \( CN = ND \).

- **Tính chất của hình bình hành**: Trong hình bình hành, hai cặp cạnh đối diện bằng nhau.

- Ta có:
\[
AM = MB \quad \text{(1)}
\]
\[
CN = ND \quad \text{(2)}
\]

- Ta cũng biết rằng hai cặp cạnh AM - CN và MC - AN là song song, do AB // CD và AN // CM (tính chất của hình bình hành).

- Do đó, từ (1) và (2), ta có:
\[
AM = CN \quad \text{(do M và N là trung điểm)}
\]

- Vậy tứ giác AMCN là hình bình hành.

### 2. Chứng minh: AMFG là hình bình hành.

- **Xét đường thẳng FG**: Theo giả thiết, GF // AB.

- Từ AMCN là hình bình hành, nên MC // AN và AM // CN.

- Do GF // AB và AB là một cặp đối song song với AN, ta có:
\[
AM = FG \quad \text{và} \quad AF // GM.
\]

- Như vậy AM = FG, và do đó AMFG là hình bình hành.

### 3. Chứng minh: Tam giác ABMF = tam giác FGE và F là trung điểm của BE.

- **Xét tam giác ABMF và FGE**:

- Ta đã có AM = MB từ đầu. Tương tự, từ điều kiện GF // AB, ta suy ra rằng F là trung điểm của BE, tức là BF = FE.

- Từ các yếu tố trên, ta có:
\[
ABMF \cong FGE \quad (bằng nhau choc \text{cạnh đối và góc đối.})
\]

- Vậy F là trung điểm của BE.

### 4. Chứng minh: BF = FE = ED.

- Từ kết quả trên, đã có BF = FE.

- **Chứng minh ED**:

- Từ tứ giác ABCD là hình bình hành, ta có:
\[
AB = CD.
\]

- Bằng tính chất của hình bình hành, các cạnh đối diện bằng nhau. Do đó, nếu B và D là hai đỉnh của hình bình hành, ta có:
\[
BF + FE + ED = BE = CD.
\]

- Nhưng từ lý thuyết trên,
\[
BF = FE = x, \quad \text{và} \quad ED = x.
\]

Do đó, ta có:
\[
BF = FE = ED.
\]

Chúc mừng bạn đã hoàn tất bài toán! Các tính chất của hình bình hành đã giúp chúng ta chứng minh thành công các đề bài yêu cầu.