Tính các cạnh BC; BH và BD

Để giải bài toán này, trước hết ta cần tính cạnh BC của tam giác vuông ABC.

### a) Tính BC, BH và BD

1. **Tính cạnh BC (cạnh huyền)**:
Tam giác ABC vuông tại A có độ dài các cạnh:
- \( AB = 8 \, \text{cm} \)
- \( AC = 15 \, \text{cm} \)

Theo định lý Pythagore:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]
Thay các giá trị vào công thức:
\[
BC^2 = 8^2 + 15^2 = 64 + 225 = 289
\]
\[
BC = \sqrt{289} = 17 \, \text{cm}
\]

2. **Tính BH và BD**:
- AH và AD là đường phân giác của tam giác ABC. Ta biết rằng độ dài của đường phân giác từ đỉnh A đến cạnh BC có thể được tính bằng công thức:
\[
AH = \frac{2 \cdot AB \cdot AC}{AB + AC} = \frac{2 \cdot 8 \cdot 15}{8 + 15}
\]
\[
AH = \frac{240}{23} \approx 10.43 \, \text{cm}
\]

- Để tính BD, ta sử dụng tính chất của phân giác trong tam giác. Độ dài của BD có thể tính dựa trên tỉ lệ của các cạnh bên:
\[
\frac{AB}{AC} = \frac{BD}{DC}
\]
Gọi \( DC = x \), vậy \( BD = y = \frac{8}{15} \cdot x \) và \( BC = BD + DC = y + x \).

Theo đẳng thức, ta có:
\[
y + x = 17
\]
Thay \( y \) vào ta được:
\[
\frac{8}{15}x + x = 17
\]
\[
\frac{23}{15}x = 17 \Rightarrow x = \frac{17 \cdot 15}{23} \approx 11.09 \, \text{cm}
\]
Vậy:
\[
BD = \frac{8}{15} \cdot 11.09 = \frac{8 \cdot 17}{23} \approx 6.00 \, \text{cm}
\]

### b) Chứng minh tam giác ABH đồng dạng với tam giác CAH

Xét dựa vào tính chất phân giác, ta có:

- ABH có:
- Góc AHB = Góc AHC (góc chung).
- Góc ABH = Góc CAH (do phân giác).

Do đó, theo tiêu chí góc-góc (AA), ta suy ra:
\[
\triangle ABH \sim \triangle CAH
\]

### Kết quả
- \( BC = 17 \, \text{cm} \)
- \( AH \approx 10.43 \, \text{cm} \)
- \( BD \approx 6.00 \, \text{cm} \)

Và ta đã chứng minh được hai tam giác ABH và CAH là đồng dạng.