Để so sánh hai biểu thức \( \left( \frac{37}{15} \right)^{30} \) và \( \left( \frac{15}{17} \right)^{40} \), chúng ta có thể tiến hành quy đổi về cùng một cơ sở hoặc so sánh logarit của chúng.

Trước tiên, ta tính logarit tự nhiên của cả hai biểu thức.

Gọi \( a = \left( \frac{37}{15} \right)^{30} \) và \( b = \left( \frac{15}{17} \right)^{40} \).

Lấy logarit tự nhiên:

\[
\ln a = 30 \ln \left( \frac{37}{15} \right) = 30 \left( \ln 37 - \ln 15 \right)
\]

\[
\ln b = 40 \ln \left( \frac{15}{17} \right) = 40 \left( \ln 15 - \ln 17 \right)
\]

Bây giờ ta cần so sánh \( \ln a \) và \( \ln b \):

\[
\ln a = 30 \left( \ln 37 - \ln 15 \right)
\]

\[
\ln b = 40 \left( \ln 15 - \ln 17 \right)
\]

Tiến hành so sánh:

\[ \ln a - \ln b = 30 \left( \ln 37 - \ln 15 \right) - 40 \left( \ln 15 - \ln 17 \right) \]

Rút gọn biểu thức:

\[
= 30 \ln 37 - 30 \ln 15 - 40 \ln 15 + 40 \ln 17
\]

\[
= 30 \ln 37 + 40 \ln 17 - 70 \ln 15
\]

Để biết được \( \ln a \) và \( \ln b \) lớn hơn cái nào, ta có thể tính gần đúng hoặc sử dụng các giá trị logarit:

- \( \ln 37 \approx 3.610 \)
- \( \ln 15 \approx 2.708 \)
- \( \ln 17 \approx 2.833 \)

Thay các giá trị vào:

\[
30 \times 3.610 + 40 \times 2.833 - 70 \times 2.708
\]

Tính từng phần:

\[
30 \times 3.610 = 108.3
\]

\[
40 \times 2.833 = 113.32
\]

\[
70 \times 2.708 = 189.56
\]

Cộng các thành phần lại:

\[
108.3 + 113.32 - 189.56 \approx 32.06
\]

Vì kết quả \( 32.06 > 0 \), suy ra:

\[
\ln a > \ln b \Rightarrow a > b
\]

Vậy ta có kết luận:

\[
\left( \frac{37}{15} \right)^{30} > \left( \frac{15}{17} \right)^{40}
\]

Hy vọng điều này giúp ích cho bạn!