Để chứng minh bất đẳng thức \( 2A \geq -5 \) với \( A = \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 1} \), chúng ta thực hiện các bước sau:

1. **Xác định miền xác định của A**:
- Để \( A \) xác định, \( \sqrt{x} + 1 \neq 0 \), tức là \( x \geq 0 \).

2. **Tính A**:
- Biểu thức \( A \) có thể được viết lại và tối ưu hóa để dễ làm việc hơn.

3. **Tính giá trị của 2A**:
\[
2A = 2 \cdot \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 1} = \frac{2(\sqrt{x} - 2)}{\sqrt{x} + 1}
\]

4. **Chứng minh \( 2A \geq -5 \)**:
- Cần chứng minh:
\[
\frac{2(\sqrt{x} - 2)}{\sqrt{x} + 1} \geq -5
\]
- Điều này tương đương với:
\[
2(\sqrt{x} - 2) \geq -5(\sqrt{x} + 1)
\]
- Giải phương trình trên:
\[
2\sqrt{x} - 4 + 5\sqrt{x} + 5 \geq 0
\]
- Kết quả là:
\[
7\sqrt{x} + 1 \geq 0
\]
- Thật rõ ràng, \( 7\sqrt{x} + 1 \geq 0 \) luôn đúng với mọi \( x \geq 0 \).

Vậy, ta đã chứng minh được rằng \( 2A \geq -5 \) với tất cả \( x \geq 0 \).