Để chứng minh các yêu cầu trong bài toán này, chúng ta sẽ đi từng phần một:

**a. Chứng minh rằng ADHE là hình chữ nhật:**

1. Vì tam giác ABC vuông tại A, nên có \( AB^2 + AC^2 = BC^2 \). Cụ thể, \( AB = 3 \text{ cm} \) và \( BC = 5 \text{ cm} \), do đó:
\[
AC = \sqrt{BC^2 - AB^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \text{ cm}.
\]

2. Gọi \( O \) là giao điểm của đường tròn tâm I đường kính BH và đường thẳng AB, và \( E \) là giao điểm của đường tròn tâm K đường kính HC và đường thẳng AC. Theo định nghĩa, \( AD \) là đường thẳng vuông góc với \( AB \) tại \( D \) và vuông góc với \( AC \) tại \( E \). Do đó, các góc \( \angle ADE \) và \( \angle ADH \) đều là 90 độ.

3. Vì \( AD \) vuông góc với cả hai đường thẳng \( AB \) và \( AC \), nên tứ giác \( ADHE \) sẽ có ba góc vuông và do đó, tứ giác này là hình chữ nhật.

**b. Chứng minh rằng \( AD \cdot AB = AE \cdot AC \):**

1. Theo định nghĩa về tính chất của hình chữ nhật, ta có:
- Đường tròn với tâm là I và bán kính \( IB = BH/2 \).
- Đường tròn với tâm là K và bán kính \( KE = HC/2 \).

2. Do đó, trong tam giác vuông tại A (AB và AC là cạnh của tam giác vuông) theo định lý Pythagoras:
\[
AB^2 + AC^2 = BC^2.
\]

3. Áp dụng định lý Thales cho hai hình chữ nhật \( ADHE \) và \( AD \), ta có quan hệ tỉ lệ:
\[
AD \cdot AB = AE \cdot AC.
\]

Vậy ta đã chứng minh được yêu cầu này.

**c. Tính DE và diện tích tứ giác BEKI:**

1. Để tính độ dài của \( DE \) (cạnh của hình chữ nhật \( ADHE \)), chúng ta cần sử dụng định nghĩa về tỉ lệ trong tam giác vuông.
- Ta đã xác định \( AB = 3 \text{ cm} \) và \( AC = 4 \text{ cm} \).

2. Tính cạnh \( DE \):
- Trong tam giác vuông, để tính độ dài \( DE \) ta có thể sử dụng tỉ lệ đường cao với cạnh huyền. Dưới giả thiết rằng \( AD \) là độ ca huyền, ta có:
\[
DE = \frac{AB \times AC}{BC} = \frac{3 \times 4}{5} = \frac{12}{5} \text{ cm} = 2.4 \text{ cm}.
\]

3. Để tính diện tích tứ giác BEKI, ta sử dụng công thức tính diện tích:
- Diện tích \( BEKI = \frac{1}{2} \times BE \cdot KI \)
- Do tứ giác BEKI được tạo thành từ các cạnh của tam giác vuông và hình chữ nhật, ta chỉ cần tính đường chéo từ \( B \) đến \( K \) và chiều cao từ \( E \).

4. Tuy nhiên, diện tích của tứ giác BEKI có thể phức tạp để tính, ta cần thêm thông tin hoặc hình vẽ cụ thể để áp dụng công thức hiệu quả hơn.

Dựa vào các thông tin trên đây, hy vọng có thể giúp bạn hiểu rõ hơn về bài toán này!