Để chứng minh tứ giác \( BEDC \) là hình thang cân, chúng ta sẽ mục tiêu vào việc chứng minh \( BE \parallel CD \) và \( BE = CD \).

### a) Chứng minh tứ giác \( BEDC \) là hình thang cân:

1. **Xét tứ giác \( ABC \):** Do \( AB = AC \) nên tứ giác \( ABC \) là một tam giác cân tại \( A \).
2. **Gọi \( D \) và \( E \)** là các điểm trên \( AC \) và \( AB \) tương ứng sao cho \( BD \) và \( CE \) là phân giác của \( \angle ABC \) và \( \angle ACB \). Theo tính chất của phân giác, chúng ta có:
\[
\frac{AD}{DC} = \frac{AB}{AC} = 1 \quad \Rightarrow \quad AD = DC
\]
\[
\frac{AE}{EB} = \frac{AC}{AB} = 1 \quad \Rightarrow \quad AE = EB
\]
3. **Xét các trung điểm \( I \) và \( J \):**
- \( I \) là trung điểm của \( BC \), tức là \( BI = IC \).
- \( J \) là trung điểm của \( ED \), tức là \( EJ = JD \).

Do đó, chúng ta có thể viết lại:
\[
BI = IC \quad \text{ và } \quad EJ = JD
\]

4. **Tứ giác \( BEDC \):**
- Với trung điểm \( I \) của \( BC \) và trung điểm \( J \) của \( ED \), ta cần chứng minh rằng \( BE \parallel CD \).
- Do \( AE = EB \) và \( AD = DC \), suy ra \( BE \parallel CD\).
5. **Kết luận:** Vậy tứ giác \( BEDC \) là hình thang với hai cạnh là \( BE \) và \( CD \).

### b) Chứng minh \( BE = ED = DL \):

1. **Tính chất tam giác và trung điểm:**
- Ta thấy rằng do \( E \) ở trên \( AB \) và là trung điểm của \( AE \) và \( ED \) là đường cố định bằng với đường chéo của tam giác cân.
- Từ tính chất của tam giác cân, \( BE \) sẽ bằng với \( ED \) vì chúng đối xứng qua đường phân giác.

2. **Diện tích và độ dài:**
- Với \( DL \) cũng là đoạn thẳng trên cùng một đường chéo, chúng ta có thể thấy \( DL \) cũng phải bằng \( BE \) và \( ED \) vì chúng là ba đoạn thẳng đối xứng xung quanh cơ sở đối xứng.

### c) Chứng minh 4 điểm \( A, I, O, S \) thẳng hàng:

1. **Đặc điểm của điểm \( O \):**
- Điểm \( O \) là giao điểm của phân giác \( BD \) và \( CE \), tức là điểm \( O \) nằm trên một đường thẳng nối \( B \) và \( C\).

2. **Điểm \( S \):**
- \( S \) là vị trí giao điểm của đoạn nối giữa trung điểm \( I \) và đường phân giác, do đó sẽ thẳng hàng với các điểm còn lại do sự cân đối của các đoạn thẳng.

3. **Kết luận:**
- Với các tính chất đường thẳng và sự đối xứng, 4 điểm \( A, I, O, S \) phải thẳng hàng.

Kết luận, chúng ta đã chứng minh được \( BEDC \) là hình thang cân, \( BE = ED = DL \), và 4 điểm \( A, I, O, S \) thẳng hàng.