Để chứng minh các tính chất trong tam giác ABC với góc B = góc C, ta làm theo các bước sau:

### a) Chứng minh tam giác ABC = tam giác AMC

1. **Giả thiết:**
- Gọi \( M \) là điểm trên cạnh \( BC \) sao cho \( AM \) vuông góc với \( BC \).
- Có \( \angle B = \angle C \).

2. **Các cạnh tương ứng:**
- Ta có \( AM \) chung cho cả hai tam giác \( ABC \) và \( AMC \).
- Cạnh \( AB \) của tam giác \( ABC \) tương ứng với cạnh \( AC \) của tam giác \( AMC \).
- Cạnh \( MC \) của tam giác \( AMC \) nằm trọn trong cạnh \( BC \).

3. **Góc:**
- Ta có \( \angle BAM = \angle CAM \) vì \( AM \) là đường vuông góc hạ từ \( A \) xuống \( BC \).
- Từ giả thiết \( \angle B = \angle C \), ta có \( \angle ABC = \angle ACB \).

4. **Sử dụng quy tắc góc - cạnh:**
- Trong hai tam giác \( ABC \) và \( AMC \), ta có:
- \( \angle BAM = \angle CAM \) (góc chung)
- \( AB = AC \) (theo giả thiết)
- \( AM \) chung

Từ đây, ta suy ra rằng:

\[
\triangle ABC \cong \triangle AMC \quad (\text{theo tiêu chuẩn cạnh - góc - cạnh (CGC)})
\]

### b) Chứng minh rằng \( MD = ME \)

Với hai tia \( MD \) vuông góc với \( AB \) và \( ME \) vuông góc với \( AC \):

1. **Giả thiết:**
- Tia \( MD \) vuông góc với \( AB \) ( \( D \) thuộc \( AB \))
- Tia \( ME \) vuông góc với \( AC \) ( \( E \) thuộc \( AC \))

2. **Tám giác vuông:**
- Ta có \( \angle AMD = 90^\circ \) và \( \angle AME = 90^\circ \).

3. **Tam giác vuông giống nhau:**
- Đặt \( MD \) và \( ME \) ứng với chiều dài của chiều cao trong mỗi tam giác.
- Từ tam giác vuông \( AMD \) và \( AME \), ta có \( AM \) chung và \( \angle AMD = \angle AME = 90^\circ \).

4. **Nhận xét về góc:**
- Góc \( \angle BAD \) (góc mà \( D \) tạo ra) và \( \angle CAE \) (góc mà \( E \) tạo ra) sẽ bằng nhau vì \( AB = AC \) và \( \angle B = \angle C \).

5. **Sử dụng định lý Pythagore:**
- Trong hai tam giác vuông, ta có:
\[
AD^2 + MD^2 = AM^2
\]
\[
AE^2 + ME^2 = AM^2
\]
Vì hai tam giác vuông này có cạnh huyền bằng nhau và có một cạnh bằng nhau.

Do đó:

\[
MD^2 = ME^2 \implies MD = ME
\]

### Kết luận:

Vậy ta đã chứng minh được cả hai kết luận:
- a) \( \triangle ABC \cong \triangle AMC \)
- b) \( MD = ME \)