Để giải hệ phương trình với \( m = 1 \), ta có hệ phương trình sau:

\[
\begin{cases}
-2mx + y = 5 \\
mx + 3y = 1
\end{cases}
\]

Thay \( m = 1 \) vào hệ, ta có:

\[
\begin{cases}
-2x + y = 5 \quad (1) \\
x + 3y = 1 \quad (2)
\end{cases}
\]

### a) Giải hệ phương trình với \( m = 1 \)

Từ phương trình (1), ta có:

\[
y = 2x + 5
\]

Thay \( y = 2x + 5 \) vào phương trình (2):

\[
x + 3(2x + 5) = 1
\]
\[
x + 6x + 15 = 1
\]
\[
7x + 15 = 1
\]
\[
7x = 1 - 15
\]
\[
7x = -14 \quad \Rightarrow \quad x = -2
\]

Thay \( x = -2 \) vào \( y = 2x + 5 \):

\[
y = 2(-2) + 5 = -4 + 5 = 1
\]

Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( (x, y) = (-2, 1) \).

### b) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số

Hệ phương trình trở thành:

\[
\begin{cases}
-2x + y = 5 \\
x + 3y = 1
\end{cases}
\]

Đây là một hệ phương trình tuyến tính với hai biến. Hệ có nghiệm duy nhất nếu định thức không bằng 0.

Tính định thức:

\[
D =
\begin{vmatrix}
-2 & 1 \\
1 & 3
\end{vmatrix}
= (-2) \cdot 3 - (1) \cdot 1 = -6 - 1 = -7 \neq 0
\]

Vậy hệ có nghiệm duy nhất.

### c) Tìm \( m \) để hệ có nghiệm \( (x,y) \) thoả mãn \( x+y=5 \)

Ta phải tìm điều kiện cho \( x+y=5 \). Từ \( x+y=5 \) ta có \( y = 5 - x \) và thay vào hai phương trình ban đầu:

1. Từ \( -2mx + y = 5 \), thay \( y \):
\[
-2mx + (5 - x) = 5 \quad \Rightarrow \quad -2mx - x + 5 = 5 \quad \Rightarrow \quad -2mx - x = 0 \quad \Rightarrow \quad x(-2m - 1) = 0
\]

2. Từ phương trình \( mx + 3y = 1 \):
\[
mx + 3(5 - x) = 1 \quad \Rightarrow \quad mx + 15 - 3x = 1 \quad \Rightarrow \quad mx - 3x = -14 \quad \Rightarrow \quad x(m - 3) = -14
\]

Có các trường hợp sau:

- Nếu \( x = 0 \), ta không thoả mãn \( x+y=5 \).
- Nếu \( -2m - 1 = 0 \) (nghĩa là \( m = -\frac{1}{2} \)) thì nghiệm \( x \) có thể tùy ý (sẽ không có đủ thông tin để xác định \( y \)).
- Nếu \( m \neq 3 \), ta có thể xác định được \( x \) từ \( x(m - 3) = -14 \).

Do đó, \( m \) cần thoả mãn: \( m \neq 3 \) và \( m = -\frac{1}{2} \) là một giá trị có thể cho hệ có nghiệm thoả mãn yêu cầu.