Tính giá trị nhỏ nhất của các biểu thức sau? Tính giá trị lớn nhất của các biểu thức sau

Để tìm giá trị nhỏ nhất của các biểu thức E và F, cũng như giá trị lớn nhất của các biểu thức A, B và C, ta có thể sử dụng các công thức của hàm bậc hai. Cụ thể như sau:

### 1. Tính giá trị nhỏ nhất của các biểu thức:

**a) \( E = 3 + x^2 + 3x \)**

Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( E \), ta có thể viết lại biểu thức dưới dạng hoàn thành bình phương:

\[
E = x^2 + 3x + 3 = (x + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + 3
\]
\[
= (x + \frac{3}{2})^2 + \frac{3}{4}
\]

Giá trị nhỏ nhất của \( E \) xảy ra khi \( (x + \frac{3}{2})^2 = 0 \), tức là:

\[
x = -\frac{3}{2}
\]
Giá trị nhỏ nhất của \( E \) là:

\[
E_{min} = \frac{3}{4}
\]

**b) \( F = 4x^2 + 3x + 2 \)**

Tương tự, ta cũng áp dụng hoàn thành bình phương:

\[
F = 4(x^2 + \frac{3}{4}x) + 2
\]

Hoàn thành bình phương cho phần trong ngoặc:

\[
= 4\left(x + \frac{3}{8}\right)^2 - \frac{9}{16} + 2
\]

Tính toán:

\[
= 4\left(x + \frac{3}{8}\right)^2 + \frac{32}{16} - \frac{9}{16}
\]
\[
= 4\left(x + \frac{3}{8}\right)^2 + \frac{23}{16}
\]

Giá trị nhỏ nhất của \( F \) cũng xảy ra khi \( (x + \frac{3}{8})^2 = 0 \):

\[
x = -\frac{3}{8}
\]

Giá trị nhỏ nhất của \( F \) là:

\[
F_{min} = \frac{23}{16}
\]

### 2. Tính giá trị lớn nhất của các biểu thức:

**a) \( A = -x^2 + 4x + 1 \)**

Hàm bậc hai có hệ số bậc 2 âm sẽ có giá trị lớn nhất. Tìm giá trị lớn nhất:

\[
A = -\left(x^2 - 4x\right) + 1
\]

Hoàn thành bình phương:

\[
= -\left((x - 2)^2 - 4\right) + 1
\]
\[
= - (x - 2)^2 + 4 + 1
\]
\[
= - (x - 2)^2 + 5
\]

Giá trị lớn nhất của \( A \) là:

\[
A_{max} = 5
\]

**b) \( B = -x^2 - 6x - 10 \)**

Tương tự, tìm giá trị lớn nhất:

\[
B = - (x^2 + 6x + 10)
\]

Hoàn thành bình phương:

\[
= -\left((x + 3)^2 - 9 - 10\right)
\]
\[
= - (x + 3)^2 + 19
\]

Giá trị lớn nhất của \( B \) là:

\[
B_{max} = 19
\]

**c) \( C = -x^2 + 13x + 1 \)**

Tìm giá trị lớn nhất:

\[
C = -\left(x^2 - 13x - 1\right)
\]

Hoàn thành bình phương:

\[
= -\left((x - \frac{13}{2})^2 - \frac{169}{4} - 1\right)
\]
\[
= - (x - \frac{13}{2})^2 + \frac{169}{4} + 1
\]
\[
= - (x - \frac{13}{2})^2 + \frac{173}{4}
\]

Giá trị lớn nhất của \( C \) là:

\[
C_{max} = \frac{173}{4}
\]

### Tóm tắt kết quả:

- Giá trị nhỏ nhất của \( E \) là \( \frac{3}{4} \)
- Giá trị nhỏ nhất của \( F \) là \( \frac{23}{16} \)
- Giá trị lớn nhất của \( A \) là \( 5 \)
- Giá trị lớn nhất của \( B \) là \( 19 \)
- Giá trị lớn nhất của \( C \) là \( \frac{173}{4} \)