Để tính biểu thức đã cho, ta sẽ lần lượt thực hiện các phép toán theo thứ tự.

Biểu thức cần tính là:
\[
5^2 \times 103 - 5^3 \times 13 + 5^2 \times 125^2 \times 103 - (5^3 \times 13 + 5^2 \times 12)
\]

1. **Tính các hạng tử riêng lẻ**:
- \( 5^2 = 25 \)
- \( 5^3 = 125 \)

2. **Thay thế vào biểu thức**:
\[
= 25 \times 103 - 125 \times 13 + 25 \times 125^2 \times 103 - (125 \times 13 + 25 \times 12)
\]

3. **Tính từng thành phần**:
- \( 125 \times 13 = 1625 \)
- \( 125^2 = 15625 \)
- \( 25 \times 15625 = 390625 \)
- \( 25 \times 12 = 300 \)

4. **Thay thế và tính**:
Giờ ta thay thế các giá trị đã tính vào biểu thức:
\[
= 25 \times 103 - 1625 + 390625 \times 103 - (1625 + 300)
\]

5. **Tính \( 25 \times 103 \)**:
- \( 25 \times 103 = 2575 \)

Thay vào biểu thức:
\[
= 2575 - 1625 + 390625 \times 103 - 1925
\]

6. **Tính \( 390625 \times 103 \)**:
\[
= 390625 \times 103 = 40268775
\]

7. **Tính biểu thức tổng**:
Thay giá trị vào biểu thức:
\[
= 2575 - 1625 + 40268775 - 1925
\]

Tính từng phần:
\[
= (2575 - 1625 - 1925) + 40268775
\]
\[
= 2575 - 1625 = 950
\]
\[
= 950 - 1925 = -975
\]
Cuối cùng ta có:
\[
= -975 + 40268775 = 40267700
\]

Vậy kết quả cuối cùng là:
\[
\boxed{40267700}
\]