Tập xác định của hàm số là \(\mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2\,024} \right\}\).

Ta có: \[y' = \frac{{2\,024 - m}}{{{{\left( {x + 2\,024} \right)}^2}}}\].

Để hàm số đã cho đồng biến trên từng khoảng xác định của nó thì đạo hàm \(y' > 0\,\,\forall x \in \mathbb{R}\backslash \left\{ { - 2\,024} \right\}\), điều này xảy ra khi \(2\,024 - m > 0\), tức là \(m < 2\,024\).

Mà \(m \in {\mathbb{Z}^ + }\), do đó \(m \in \left\{ {1;\,2;\,...;\,2\,023} \right\}\). Vậy có \(2\,023\) giá trị của \(m\) thỏa mãn bài toán.

Đáp số: \(2\,023\).