Gọi \(x\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\) là độ dài một cạnh của tấm giấy hình chữ nhật được cắt ra (cạnh thuộc đường kính) và \(y\,\,\left( {{\rm{cm}}} \right)\) là độ dài cạnh còn lại \((0 < x < 16,\,\,0 < y < 8)\). Ta có:

\({\left( {\frac{x}{2}} \right)^2} + {y^2} = {8^2} \Leftrightarrow {y^2} = \frac{1}{4}\left( {256 - {x^2}} \right) \Leftrightarrow y = \frac{1}{2}\sqrt {256 - {x^2}} \).

Diện tích của tấm giấy hình chữ nhật đó là:

\(S = xy = x \cdot \frac{1}{2}\sqrt {256 - {x^2}} = \frac{1}{2}\sqrt {{x^2}\left( {256 - {x^2}} \right)} \) (cm²).

Đặt \(f\left( x \right) = {x^2}\left( {256 - {x^2}} \right)\) với \(0 < x < 16\), có \(f'\left( x \right) = 512x - 4{x^3}\) nên \(f'\left( x \right) = 0\) khi \(x = 8\sqrt 2 \).

Vậy giá trị lớn nhất của \(S\) bằng \(\frac{1}{2}\sqrt {f\left( {8\sqrt 2 } \right)} = 64\,\,\,\left( {{\rm{c}}{{\rm{m}}^2}} \right)\).

Đáp số: \(64\).