Để chứng minh rằng không tồn tại giá trị nào của \(x\) và \(y\) để hai đa thức \(P\) và \(Q\) cùng có giá trị âm, chúng ta sẽ phân tích các đa thức này.

Đầu tiên, viết lại hai đa thức:

\[
P = x^2 + 2xy - y^2
\]

\[
Q = x^2 - 2xy + 4y^2
\]

Tiếp theo, chúng ta sẽ tìm điều kiện cần thiết để \(P < 0\) và \(Q < 0\).

### Phân tích đa thức \(P\)

Để \(P < 0\), ta có:

\[
x^2 + 2xy - y^2 < 0
\]

Chuyển vế, ta có:

\[
x^2 + 2xy < y^2
\]

Đặt \(y\) bên phải, ta chuyển vế tiếp:

\[
x^2 + 2xy - y^2 < 0
\]

### Phân tích đa thức \(Q\)

Để \(Q < 0\), ta có:

\[
x^2 - 2xy + 4y^2 < 0
\]

Chuyển vế, tương tự ta có:

\[
x^2 - 2xy < -4y^2
\]

### Liên hệ giữa \(P\) và \(Q\)

Ta sẽ cố gắng liên hệ giữa \(P\) và \(Q\) bằng cách cộng cả hai đa thức lại:

\[
P + Q = (x^2 + 2xy - y^2) + (x^2 - 2xy + 4y^2) = 2x^2 + 3y^2
\]

Như vậy, có:

\[
P + Q = 2x^2 + 3y^2
\]

Vì \(2x^2 \geq 0\) và \(3y^2 \geq 0\) cho mọi giá trị của \(x\) và \(y\), ta thấy rằng \(P + Q \geq 0\).

### Kết luận

Giả sử \(P < 0\) và \(Q < 0\), từ đó suy ra:

\[
P + Q < 0
\]

Nhưng điều này mâu thuẫn với \(P + Q \geq 0\).

Do đó, không tồn tại giá trị nào của \(x\) và \(y\) sao cho cả hai đa thức \(P\) và \(Q\) đều cùng có giá trị âm.

Vậy ta đã chứng minh xong.