Để chứng minh rằng \(\vec{AB} + \vec{CD} = \vec{AD} + \vec{CB}\) cho tứ diện \(ABCD\), chúng ta sẽ sử dụng các định nghĩa về vectơ và tính chất của chúng.

**1. Đặt các vectơ:**
- Giả sử \(A\), \(B\), \(C\), và \(D\) là các điểm trong không gian.
- Gọi \(\vec{A}\), \(\vec{B}\), \(\vec{C}\), và \(\vec{D}\) lần lượt là các vectơ vị trí của các điểm này.

**2. Viết các vectơ theo điểm:**
- Theo định nghĩa của vectơ, ta có:
\[
\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A},
\]
\[
\vec{AD} = \vec{D} - \vec{A},
\]
\[
\vec{CB} = \vec{B} - \vec{C},
\]
\[
\vec{CD} = \vec{D} - \vec{C}.
\]

**3. Thay thế các vectơ vào biểu thức:**
Ta cần chứng minh:
\[
\vec{AB} + \vec{CD} = \vec{AD} + \vec{CB}.
\]

**4. Tính toán:**
Thay thế vào biểu thức, ta có:
\[
\vec{AB} + \vec{CD} = (\vec{B} - \vec{A}) + (\vec{D} - \vec{C}) = \vec{B} - \vec{A} + \vec{D} - \vec{C}.
\]

Ngược lại, ta tính bên phải:
\[
\vec{AD} + \vec{CB} = (\vec{D} - \vec{A}) + (\vec{B} - \vec{C}) = \vec{D} - \vec{A} + \vec{B} - \vec{C}.
\]

**5. So sánh:**
Ta nhận thấy, từ các biểu thức trên:
\[
\vec{B} - \vec{A} + \vec{D} - \vec{C} = \vec{D} - \vec{A} + \vec{B} - \vec{C}.
\]

Hai vế này đều giống nhau, vì chúng chỉ là cách sắp xếp lại các hạng tử. Xét kỹ hơn thì ta thấy:
\[
\vec{B} - \vec{A} + \vec{D} - \vec{C} = \vec{D} - \vec{C} + \vec{B} - \vec{A},
\]
do đó:
\[
\vec{AB} + \vec{CD} = \vec{AD} + \vec{CB}.
\]

**Kết luận:**
Ta đã chứng minh được rằng \(\vec{AB} + \vec{CD} = \vec{AD} + \vec{CB}\).