Cho A = 7 – 19 +31 – 43 +55 – 67 + ... Tính số hạng thứ 100 của A? Tính A khi A có 100 số hạng? Khi A = - 486. Hỏi A có tất cả bao nhiêu số hạng?

Để giải bài toán trên, trước tiên ta cần phân tích dãy số hạng của A.

Dãy số hạng của A có dạng:

\[ A = 7 - 19 + 31 - 43 + 55 - 67 + ... \]

Ta có thể tách các số hạng thành các nhóm dương và âm.

### a) Tính số hạng thứ 100 của A

Có thể nhận thấy rằng các số hạng dương nằm ở các vị trí lẻ và các số hạng âm nằm ở các vị trí chẵn. Một cách cụ thể:

- Số hạng dương ở vị trí 1, 3, 5,... có số hạng là 7, 31, 55,...
- Số hạng âm ở vị trí 2, 4, 6,... có số hạng là 19, 43, 67,...

Ta có thể viết các số hạng này dưới dạng công thức:

1. **Số hạng dương**:
\[ a_n = 7 + 24(n-1) \] với n = 1, 2, 3, ...
(7 là số hạng đầu tiên và các số hạng tiếp theo cách nhau 24).

2. **Số hạng âm**:
\[ b_n = 19 + 24(n-1) \] với n = 1, 2, 3, ...
(19 là số hạng đầu tiên và các số hạng tiếp theo cách nhau 24).

- Nên số hạng thứ 100 (vị trí chẵn) là số hạng âm:
\[ b_{50} = 19 + 24(50-1) = 19 + 1176 = 1195 \]
Vậy số hạng thứ 100 là \(-1195\).

### b) Tính A khi A có 100 số hạng

Khi A có 100 số hạng, sẽ có 50 số hạng dương và 50 số hạng âm.

- Tính tổng các số hạng dương:

\[
S_d = a_1 + a_2 + ... + a_{50} = 7 + 31 + 55 + ... + a_{50}
\]

Số hạng cuối cùng tương ứng với n = 50:
\[ a_{50} = 7 + 24(50-1) = 7 + 1176 = 1183 \]

Đây là một dãy số học, với số hạng đầu \(a_1 = 7\) và số hạng cuối \(a_{50} = 1183\):
\[
S_d = \frac{50}{2} (a_1 + a_{50}) = 25(7 + 1183) = 25 \times 1190 = 29750
\]

- Tính tổng các số hạng âm:

Dãy số: \( -19, -43, -67, ..., -b_{50} \)

Số hạng cuối cùng sẽ là:
\[ -b_{50} = -1195 \]

Đây cũng là một dãy số học, với số hạng đầu \(b_1 = 19\) và số hạng cuối \(b_{50} = 1195\):
\[
S_a = \frac{50}{2} (b_1 + b_{50}) = 25(19 + 1195) = 25 \times 1214 = 30350
\]

- Tính A:

\[ A = S_d - S_a = 29750 - 30350 = -600 \]

### c) Khi A = -486. Hỏi A có tất cả bao nhiêu số hạng?

Theo kết quả tính được ở phần b), 100 số hạng cho A có tổng là -600. Do đó, để tìm số hạng k sao cho tổng của A là -486, ta có hai khả năng:

1. Giảm thêm các số hạng dương hoặc
2. Tăng thêm các số hạng âm.

Giả sử thực hiện phương án 1, ta tìm điều chỉnh số hạng dương trong các số hạng đã tính:

\[
A_k = A_{100} + k \\
-486 = -600 + k \\
k = -486 + 600 = 114
\]

Như vậy, để tổng A thay đổi từ -600 lên -486, ta có thể điều chỉnh các số hạng. Tuy nhiên, do các số hạng âm vẫn lớn hơn, ta sẽ phải tiếp tục tính toán, hoặc tìm số lẻ dương trong dãy để đạt được tổng như yêu cầu.

Dưới đây, ta cần hoàn thiện để xác định chính xác số hạng có được tương ứng, biết rằng tổng tương ứng việc thêm vào là trong khả năng do bài toán cho.

Từ việc trên, có thể kết luận: Số hạng tối thiểu cần để đạt -486 thực sự mỗi dãy phụ thêm một số mệnh chỉ định trong tổng theo cách đếm hạng.

---

Kết lại áp dụng các phép cộng tổng theo dãy lên là ta có các nhóm cho tương ứng số hạng.