Để tìm giá trị của \( m \) sao cho giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = -x^3 - 3x^2 + m \) trên đoạn \([-1; 1]\) bằng 4, ta tiến hành theo các bước sau:

1. **Tính đạo hàm của hàm số**:
\[
y' = -3x^2 - 6x
\]
Đặt \( y' = 0 \) để tìm các điểm cực trị:
\[
-3x^2 - 6x = 0 \implies -3x(x + 2) = 0
\]
Từ đây, ta có \( x = 0 \) và \( x = -2 \). Tuy nhiên, \( x = -2 \) không nằm trong đoạn \([-1; 1]\).

2. **Tính giá trị hàm số tại các điểm quan trọng**:
- Tại \( x = -1 \):
\[
y(-1) = -(-1)^3 - 3(-1)^2 + m = 1 - 3 + m = m - 2
\]
- Tại \( x = 0 \):
\[
y(0) = -0^3 - 3 \cdot 0^2 + m = m
\]
- Tại \( x = 1 \):
\[
y(1) = -1^3 - 3 \cdot 1^2 + m = -1 - 3 + m = m - 4
\]

3. **Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số** trên đoạn này:
Giá trị nhỏ nhất là:
\[
y_{\text{min}} = \min(m - 2, m, m - 4)
\]

4. **So sánh các giá trị**:
- Xét \( m - 4 \):
- Để \( y_{\text{min}} = 4 \), ta có:
\[
m - 4 = 4 \implies m = 8
\]

- Xét \( m - 2 \):
- Để \( y_{\text{min}} = 4 \), ta có:
\[
m - 2 = 4 \implies m = 6
\]

- Xét \( m \):
- Để \( y_{\text{min}} = 4 \), ta có:
\[
m = 4
\]

5. **Xác định giá trị \( m \)**:
Để có được giá trị nhỏ nhất là 4, ta xem xét \( m = 8 \) và \( m = 6 \):
- Nếu \( m = 8 \), thì:
- \( y(-1) = 6 \)
- \( y(0) = 8 \)
- \( y(1) = 4 \)
=> Giá trị nhỏ nhất là 4.
- Nếu \( m = 6 \), thì:
- \( y(-1) = 4 \)
- \( y(0) = 6 \)
- \( y(1) = 2 \)
=> Giá trị nhỏ nhất là 2, không đạt yêu cầu.

6. **Kết luận**:
Giá trị của \( m \) để giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([-1; 1]\) bằng 4 là:
\[
\boxed{8}
\]