Để tìm \(m\) để hệ phương trình

\[
\begin{cases}
mx + 4y = 10 - m \\
x + my - 4 = 0
\end{cases}
\]

có nghiệm duy nhất \((x, y)\) thỏa mãn \(x \geq 0\) và \(y < 0\), ta làm như sau:

### Bước 1: Biến đổi thành dạng hệ phương trình chuẩn

Ta có thể biểu diễn hệ phương trình dưới dạng ma trận:

\[
\begin{pmatrix}
m & 4 \\
1 & m
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
10 - m \\
4
\end{pmatrix}
\]

### Bước 2: Điều kiện có nghiệm duy nhất

Hệ phương trình này có nghiệm duy nhất khi định thức của ma trận hệ số khác 0:

\[
D = m \cdot m - 4 \cdot 1 = m^2 - 4 \neq 0
\]

Điều này dẫn đến:

\[
m^2 - 4 \neq 0 \implies m \neq 2 \quad \text{và} \quad m \neq -2
\]

### Bước 3: Tính nghiệm

Giải hệ phương trình cho \(x\) và \(y\):

1. Từ phương trình 1:
\[
mx + 4y = 10 - m \implies y = \frac{10 - m - mx}{4}
\]

2. Thay vào phương trình 2:
\[
x + m\left(\frac{10 - m - mx}{4}\right) - 4 = 0
\]

3. Giải phương trình này để tìm \(x\).

### Bước 4: Điều kiện \(x \geq 0\) và \(y < 0\)

Sau khi có nghiệm \(x\) từ biểu thức trên, ta tìm điều kiện cho \(y < 0\):

\[
y = \frac{10 - m - mx}{4} < 0 \implies 10 - m - mx < 0 \implies m + mx > 10 \implies m(1+x) > 10
\]

### Bước 5: Phân tích điều kiện

Bây giờ, để đảm bảo hai điều kiện \(x \geq 0\) và \(y < 0\) cùng tồn tại, cần phân tích thêm:

1. Nếu \(m > 0\) và \(x \geq 0\), thì điều kiện \(m(1+x) > 10\), tức là \(m > \frac{10}{1+x}\).
2. Nếu \(m < 0\), khi đó cần tìm điều kiện cho nghiệm.

### Kết luận

Sau khi giải quyết các bước trên, ta có thể kết luận được khoảng giá trị của \(m\) tùy thuộc vào bài toán cụ thể và các điều kiện \(x \geq 0\), \(y < 0\). Cụ thể, có thể thay đổi theo các giá trị của \(m\) để đảm bảo nghiệm được thỏa mãn.

```markdown
Tóm lại, trong bài này bạn cần kiểm tra cho từng khoảng giá trị của \(m\) và xác định nghiệm \(x\), \(y\) từ đó tìm ra các điều kiện đủ để đảm bảo \(x \geq 0\) và \(y < 0\).
```