Để chứng minh biểu thức \( -y^2 - y - 1 \) luôn âm với mọi giá trị \( y \), ta có thể làm theo các bước sau đây:

1. **Định dạng lại biểu thức**: Có thể viết lại biểu thức trên dưới dạng đồng nhất bằng cách nhân nó với -1 để dễ dàng phân tích hơn:
\[
-y^2 - y - 1 = -(y^2 + y + 1)
\]
Vậy việc chứng minh \( -y^2 - y - 1 \) luôn âm tương đương với việc chứng minh \( y^2 + y + 1 \) luôn dương.

2. **Xét bất phương trình \( y^2 + y + 1 \)**: Ta cần kiểm tra giá trị của biểu thức này. Đây là một phương trình bậc hai theo \( y \) dạng \( ay^2 + by + c \) với:
- \( a = 1 \)
- \( b = 1 \)
- \( c = 1 \)

3. **Tính Delta**: Để biết phương trình bậc hai này có nghiệm hay không, ta tính delta (\( \Delta \)):
\[
\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3
\]
Vì delta âm (\( \Delta < 0 \)), phương trình \( y^2 + y + 1 = 0 \) không có nghiệm thực. Do đó, biểu thức \( y^2 + y + 1 \) không có nghiệm và không cắt trục hoành.

4. **Kiểm tra giá trị của biểu thức**: Với phương trình bậc hai có hệ số \( a > 0 \) (trong trường hợp này \( a = 1 \)), thì đồ thị của nó là một parabol mở lên. Vì không có nghiệm thực và parabol ở trên trục hoành, nên phương trình \( y^2 + y + 1 > 0 \) với mọi giá trị của \( y \).

5. **Kết luận**: Vì \( y^2 + y + 1 > 0 \) với mọi giá trị của \( y \), thì suy ra:
\[
- (y^2 + y + 1) < 0
\]
Tức là:
\[
-y^2 - y - 1 < 0
\]
Do đó, ta đã chứng minh rằng \( -y^2 - y - 1 \) luôn âm với mọi giá trị \( y \).