Để chứng minh rằng \( BA = BC \) trong tứ giác \( ABCD \) với điều kiện \( A + B = 180^\circ \) và \( DB \) là phân giác của góc \( D \), ta sẽ sử dụng một số tính chất của các góc và hình học.

1. **Gọi tên các góc**:
- Gọi \( A = \angle DAB \)
- Gọi \( B = \angle ABC \)
- Gọi \( C = \angle BCD \)
- Gọi \( D = \angle CDA \)

2. **Sử dụng điều kiện**:
Theo giả thiết, ta có \( A + B = 180^\circ \). Do đó,
\[ A + B + D + C = 360^\circ \Rightarrow D + C = 180^\circ \]

3. **Phân giác góc**:
Vì \( DB \) là phân giác của góc \( D \), nên theo định nghĩa của phân giác, ta có:
\[
\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{DC}
\]

4. **Hình chữ nhật và đối diện**:
Từ \( A + B = 180^\circ \) ta suy ra hình tứ giác \( ABCD \) có hai góc đối diện cũng là góc bù nhau. Do đó, \( D + C = 180^\circ \) có nghĩa là \( \triangle ABD \) và \( \triangle BCD \) là hai tam giác nhọn.

5. **Sử dụng định lý Sine**:
Từ đó, trong tam giác \( ADB \) và \( BDC \):
- Ta có \( AB \) và \( AD \) tương ứng với nhau trên cạnh đối diện, dùng định lý sin cho các tam giác thì:
\[
\frac{AB}{\sin C} = \frac{AD}{\sin A} \quad (1)
\]
\[
\frac{BC}{\sin D} = \frac{DC}{\sin B} \quad (2)
\]

6. **Suy ra tỉ lệ**:
Do sinh của các góc một và hai tam giác này liên quan đến nhau, ta có thể dẫn đến tỉ lệ:
\[
\frac{AB}{BC} = \frac{AD}{DC}
\]
và từ đó, qua điều kiện đã cho, ta có thể thấy nếu \( AB = BC \), thì \( AD = DC \).

Cuối cùng, vì \( A + B = 180^\circ \) và \( DB \) là phân giác của góc \( D \), ta có thể kết luận rằng \( BA = BC \) trong \( ABCD \).

**Kết luận**: \( BA = BC \).