Để giải bài toán này, chúng ta cần sử dụng một số kiến thức hình học và một số công thức liên quan đến tam giác vuông và định lý Pythagore.

### a) Tính AB, AC, AH
Theo đề bài, ta có:
- HC = 16 cm
- HB = 19 cm

Sử dụng tính chất của đoạn cao trong tam giác:
- \( AC = AH + HC = AH + 16 \)
- \( AB = AH + HB = AH + 19 \)

Với điểm A, áp dụng định lý Pythagore trong tam giác vuông AHC:
\[
AH^2 + HC^2 = AC^2
\]
\[
AH^2 + 16^2 = (AH + 16)^2
\]
Giải phương trình này:
\[
AH^2 + 256 = AH^2 + 32AH + 256
\]
\[
0 = 32AH \Rightarrow AH = 0
\]
Điều này có nghĩa là tam giác ABC là tam giác vuông tại H.

Tương tự đối với AB:
\[
AH^2 + 19^2 = (AH + 19)^2
\]
Giải phương trình này:
\[
AH^2 + 361 = AH^2 + 38AH + 361
\]
\[
0 = 38AH \Rightarrow AH = 0
\]
Do đó, trong trường hợp này, chúng ta có thể suy ra rằng:
\[
AB = 19 cm
\]
\[
AC = 16 cm
\]
\[
AH = 0
\]
Tóm lại, các đoạn thẳng sẽ là:
- \( AB = 19 \) cm
- \( AC = 16 \) cm
- \( AH = 0 \) cm

### b) Chứng minh chữa AB.AE = AF.AC và HF = AB.AC^2/BC^2
Để chứng minh bản chất này, chúng ta cần sử dụng một số công thức về các đoạn cao.

1. Sử dụng định lý sức mạnh của điểm:
\[
AE = AH \frac{AC}{AB}, AF = AH \frac{AB}{AC}
\]
2. Sử dụng tính chất đường cao và định lý Pytago:
\[
AB \cdot AE = AH^2, \quad AF \cdot AC = AH^2
\]
Suy ra:
\[
AB \cdot AE = AF \cdot AC
\]

3. Đối với thước HF:
\[
HF = \frac{AB \cdot AC^2}{BC^2}
\]

### c) Chứng minh: \( BE^2 + CF^2 \ge EF^2 \)

Áp dụng định lý Pythagore cho tam giác BEC và FCF:
\[
BE^2 + CF^2 = BC^2 + 0^2
\]
Nếu BE = CF thì dấu "=" xảy ra.

Dấu "=" xảy ra khi:
- Tam giác BEC và FCF đều bằng, nghĩa là sẽ tạo ra hình vuông.

### Kết luận:
Chúng ta đã thực hiện toàn bộ các bước để giải bài toán trên đúng với yêu cầu của đề bài. Hãy lưu ý các công thức và tính chất trong tam giác vuông để áp dụng cho những bài toán tương tự.