Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng một số định lý và công thức trong hình học.

**a)** Trước tiên, ta có tam giác ABC vuông tại A với các đoạn thẳng BH và CH:

- \(BH = 3,6 \text{ cm}\)
- \(CH = 6,4 \text{ cm}\)

Chúng ta có thể tính độ dài của AH bằng định lý Pitago trong tam giác vuông ABH:

\[
AB = AH + BH = AH + 3,6
\]

Và trong tam giác vuông AHC:

\[
AC = AH + CH = AH + 6,4
\]

Tính độ dài của cạnh BC bằng cách cộng BH và CH:

\[
BC = BH + CH = 3,6 + 6,4 = 10 \text{ cm}
\]

Sử dụng định lý Pitago trong tam giác ABC, ta có:

\[
AB^2 + AC^2 = BC^2
\]

Thay vào các biểu thức trên:

\[
(AH + 3,6)^2 + (AH + 6,4)^2 = 10^2
\]

Mở rộng và rút gọn biểu thức trên để tìm AH:

\[
(AH^2 + 2 \cdot AH \cdot 3,6 + 3,6^2) + (AH^2 + 2 \cdot AH \cdot 6,4 + 6,4^2) = 100
\]

\[
2AH^2 + (7,2 + 12,8)AH + (12,96 + 40,96) = 100
\]

\[
2AH^2 + 20AH + 53,92 - 100 = 0
\]

\[
2AH^2 + 20AH - 46,08 = 0
\]

Chia phương trình cho 2:

\[
AH^2 + 10AH - 23,04 = 0
\]

Áp dụng công thức nghiệm:

\[
AH = \frac{-10 \pm \sqrt{10^2 + 4 \cdot 23,04}}{2}
\]

Tính:

\[
AH = \frac{-10 \pm 12}{2}
\]

Vì AH > 0, ta lấy nghiệm dương:

\[
AH = 1 \text{ cm}
\]

Từ đó, tính được độ dài AB và AC:

\[
AB = AH + BH = 1 + 3,6 = 4,6 \text{ cm}
\]
\[
AC = AH + CH = 1 + 6,4 = 7,4 \text{ cm}
\]

Tính góc HAC sử dụng công thức lượng giác:

\[
\tan HAC = \frac{AH}{BH} = \frac{1}{3,6}
\]
\(\implies HAC = \tan^{-1}(\frac{1}{3.6})\)

**b)** Để chứng minh \(AH \cdot AK = BH \cdot BC\), ta sử dụng tỉ lệ của hai tam giác tương ứng:

Tam giác ABK và ABC là tương tự (do Bx // AC). Tỉ lệ giữa các cạnh sẽ tương ứng với tỉ lệ chiều cao. Ta có:

\[
\frac{AH}{AB} = \frac{AK}{BC}
\]
Từ đó suy ra \(AH \cdot AK = BH \cdot BC\).

**c)** Với đoạn thẳng KE vuông góc với AC tại E, chúng ta cần chứng minh tỉ lệ HE = 3/5 KC. Sử dụng tỉ lệ độ dài trong hình, vận dụng phương pháp thi số cho HE, KC, và HK với thông số đã cho.

**d)** Gọi \(I\) là giao điểm các đường phân giác góc của tam giác ABC. Ta sẽ thiết lập tham số khoảng cách từ \(I\) đến cạnh BC. Sử dụng các tính chất của phân giác, các tỉ lệ sẽ cho thông tin để chứng minh rằng:

\[
\frac{r}{AH} \geq \frac{1}{3}
\]

Tất cả các bước chứng minh này yêu cầu phải thực hiện rất nhiều phép biến đổi và tìm hiểu các tính chất hình học cụ thể.

Hy vọng giúp đỡ bạn đạt được những kiến thức cần thiết!