Chứng minh rằng hàm số \( g(x) = \frac{x}{x-1} \) nghịch biến trên khoảng \( (1; +\infty) \)

Để chứng minh rằng hàm số \( g(x) = \frac{x}{x - 1} \) nghịch biến trên khoảng \( (1; +\infty) \), ta cần tính đạo hàm của hàm số này và kiểm tra dấu của đạo hàm.

1. **Tính đạo hàm**:

Sử dụng quy tắc thương, ta tính đạo hàm \( g'(x) \):

\[
g'(x) = \frac{(x-1) \cdot 1 - x \cdot 1}{(x-1)^2} = \frac{x - 1 - x}{(x-1)^2} = \frac{-1}{(x-1)^2}
\]

2. **Phân tích dấu của đạo hàm**:

- Đạo hàm \( g'(x) = \frac{-1}{(x-1)^2} \) luôn âm khi \( x > 1 \) vì mẫu \( (x - 1)^2 > 0 \) và tử là -1.

3. **Kết luận**:

Vì \( g'(x) < 0 \) trên khoảng \( (1; +\infty) \), nên hàm số \( g(x) \) là nghịch biến trên khoảng đó.

Vậy, ta đã chứng minh thành công rằng hàm số \( g(x) = \frac{x}{x - 1} \) nghịch biến trên khoảng \( (1; +\infty) \).