Để giải bài toán đã cho, ta sẽ làm như sau:

### a) Chứng minh tứ giác ABCD là hình bình hành.

1. **Gọi \( M \) là trung điểm của \( BC \)**: Do \( M \) là trung điểm nên ta có \( BM = MC \).

2. **Tính chất của điểm \( P \)**: Vì \( MA = MD \) và \( P \) nằm trên tia đối của \( MA \), ta có độ dài \( MP = MA = MD \).

3. **Xét hai tam giác \( ABM \) và \( CDM \)**:
- Có \( BM = CM \) (vì \( M \) là trung điểm).
- \( MA = MD \) (đã cho).
- \( AM = DM \) (tính đối xứng qua M).

4. **Suy ra hai tam giác \( ABM \) và \( CDM \) bằng nhau theo tiêu chí cạnh-cạnh-cạnh (CCS)**.

5. Từ đó, ta suy ra \( AB = CD \) và \( AD = BC \) (hai cặp cạnh đối diện bằng nhau).

6. Kết luận: Tứ giác \( ABCD \) có hai cặp cạnh đối diện bằng nhau nên là hình bình hành.

### b) Chứng minh \( EH \parallel BC \) và \( EH = HA \).

1. **Xét tứ giác \( ABCD \)**: Ta đã chứng minh rằng \( ABCD \) là hình bình hành.

2. **Tính chất của hình bình hành**: Hai cặp cạnh đối diện sẽ song song và bằng nhau.

3. **Suy ra \( EH \) (tiếp tuyến của đường thẳng \( HA \)) sẽ song song với \( BC \)**: Do tính chất của hình bình hành, các đường thẳng \( EH \) và \( BC \) là song song.

4. **Vì \( EH = HA \)**: Ta có \( EH \) bằng nhau với \( HA \) do tính chất đối xứng của tứ giác được tạo thành.

### Kết luận:

1. \( ABCD \) là hình bình hành.
2. \( EH \parallel BC \) và \( EH = HA \).

Từ đó, ta có cách chứng minh cho bài toán như yêu cầu.