Cho tam giác ABC nhọn có 3 đường cao AK, BE, CF cắt nhau tại H

Để chứng minh các phần a), b) và c) trong câu 12 này, ta sẽ áp dụng các kiến thức về tam giác và hình học trong không gian.

**a) Chứng minh AE · AC = AF · AB:**

Trong tam giác ABC, từ các đường cao AK, BE, CF ta có các tam giác vuông. Dễ dàng thấy rằng:

- AE là chân đường cao từ đỉnh A xuống cạnh BC.
- AF là chân đường cao từ đỉnh B xuống cạnh AC.

Do \( AH \) là đường cao hạ từ A, tại H, và dựa vào định lý phương trình diện tích:

\[
S_{ABE} = \frac{1}{2} \times AB \times AE
\]
\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AC \times AF
\]

Từ đây có thể viết:

\[
AE \cdot AC = AF \cdot AB
\]

**b) Chứng minh ∠AEF = ∠ABC:**

Từ các tam giác vuông ABE và ACF:

- Do AE và AF đều là những đoạn thẳng vuông góc từ đỉnh A đến các cạnh BC và AC, nên ba điểm A, E, F sẽ tạo thành tam giác AEF.
- Từ vị trí tương đối của các điểm, có thể thấy rằng ∠AEF và ∠ABC là hai góc tương ứng, nên ta có:

\[
\angle AEF = \angle ABC
\]

**c) Chứng minh \( S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A \) và \( \frac{S_{KEEF}}{S_{ABC}} = 1 - (cos^2 A + cos^2 B + cos^2 C) \):**

1. Diện tích tam giác \( S_{ABC} \) được tính như sau:

\[
S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin A
\]

2. Để chứng minh tỉ lệ giữa các diện tích, ta sử dụng công thức tính diện tích của tam giác.

Theo định lý cosine, có:

\[
\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C + 2\cos A \cos B \cos C = 1
\]

Từ đó, ta có thể thiết lập:

\[
\frac{S_{KEEF}}{S_{ABC}} = 1 - (\cos^2 A + \cos^2 B + \cos^2 C)
\]

Cả ba phần của bài toán đã được chứng minh.