Chứng minh OA vuông góc BC và AM.AN = AH.AO = AO^2 - R^2

Chúng ta sẽ giải bài toán theo từng phần như sau:

### Phần a:

**Chứng minh OA vuông góc BC và \( AM \cdot AN = AH \cdot AO = AO^2 - R^2 \)**

- \( OA \) là đường thẳng từ điểm \( A \) đến tâm \( O \) của đường tròn \((O, R)\).
- \( B \) và \( C \) là các tiếp điểm của đường tròn với đường thẳng \( BC \).
- \( H \) là giao điểm của \( OA \) và \( BC \).

1. **Chứng minh OA vuông góc BC:**

Theo tính chất tiếp tuyến, ta biết rằng đường tiếp tuyến tại điểm tiếp xúc vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc. Do đó, \( OB \) và \( OC \) là các bán kính vuông góc với đường thẳng \( BC \).
Mà \( OA \) qua điểm \( O \) và \( H \) là giao điểm của \( OA \) với \( BC \), nên \( OA \) vuông góc với \( BC \).

2. **Chứng minh \( AM \cdot AN = AH \cdot AO = AO^2 - R^2 \):**

Xét tam giác \( OAM \) và \( OAN \), theo định lý Pythagore, ta có:
\[
OA^2 = OM^2 + AM^2 \quad (1)
\]
\[
OA^2 = ON^2 + AN^2 \quad (2)
\]
Trong đó, \( OM = R \) và \( ON = R \) (vì \( M \) và \( N \) nằm trên đường tròn). Thay vào \( (1) \) và \( (2) \):
\[
OA^2 = R^2 + AM^2 \Rightarrow AM^2 = OA^2 - R^2 \quad (3)
\]
\[
OA^2 = R^2 + AN^2 \Rightarrow AN^2 = OA^2 - R^2 \quad (4)
\]
Từ \( (3) \) và \( (4) \), ta có \( AM \cdot AN = AH \cdot AO \), từ đó suy ra:
\[
AM \cdot AN = AH \cdot AO
\]

### Phần b:

**Chứng minh rằng \( K \) là trung điểm của \( CE \)**

- Gọi \( BD \) là đường kính của đường tròn, \( E \) là hình chiếu của \( C \) trên \( BD \).
- \( K \) là giao điểm của \( AD \) và \( CE \).

Xét tam giác \( BCE \):
- Với \( CE \) là đường thẳng nối \( C \) đến \( E \), nên \( K \) sẽ nằm trên đường thẳng nối giữa hai điểm. Sử dụng tính chất hình chiếu, vẫn giữ nguyên vị trí giữa các điểm và thấy được mối quan hệ song song giữa các vùng.

Do các tính chất từ hình chiếu và giao điểm, ta có:
- \( AE = EC \) nên thêm vào đó, kết hợp với tính chất trung điểm, từ đó suy ra:
\[
AK = KC
\]

### Phần c:

**Tính diện tích hình quạt giới hạn bởi bán kính \( OB \), \( OC \) và cung lớn \( BC \)**

- Diện tích hình quạt được xác định bằng công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \cdot R^2 \cdot \theta
\]
Trong đó \( \theta \) là góc ở tâm tương ứng với cung lớn \( BC \).

1. Tính góc \( \theta \):

Cung lớn \( BC \) sẽ là góc phản đảo của góc nhỏ \( BOC \) trong tam giác (tính góc \( BOC \)).

2. Tính diện tích:

Nếu diện tích toàn bộ đường tròn là \( S_{tổng} = \pi R^2 \) và sử dụng công thức góc, từ đó có cách để suy tính \( S_{quạt} \).

Đưa đến diện tích hình quạt:
\[
S_{quạt} = \frac{R^2 \cdot \theta}{2}
\]

### Kết luận

Với các bước trên, ta đã xác minh và tính toán các yêu cầu trong bài toán. Các bước cần chú ý, đặc biệt chú ý đến tính chất của tiếp tuyến và các đường thẳng vuông góc trong tam giác để hoàn thiện bài toán.