Cho tam giác ABC có AB = 5 cm, AC = 12 cm và BC = 13 cm. Gọi M là trung điểm của BC. Hãy xác định vị trí của mỗi điểm B, M, C đối với đường tròn tâm A bán kính 6,5 cm

Để xác định vị trí của các điểm B, M, C đối với đường tròn tâm A có bán kính 6,5 cm, trước tiên ta cần xác định chiều dài các đoạn và vị trí của các điểm.

Tam giác ABC có:
- AB = 5 cm
- AC = 12 cm
- BC = 13 cm

Ta thấy rằng:
- \( AB^2 + AC^2 = 5^2 + 12^2 = 25 + 144 = 169 = 13^2 = BC^2 \)

Vì vậy, tam giác ABC là tam giác vuông tại A.

### Giao điểm các điểm trong hệ tọa độ
Ta có thể đặt A tại gốc tọa độ (0, 0), B tại (5, 0) và C nằm trên trục y. Để tìm tọa độ của C, ta cần sử dụng tính chất tam giác vuông:
- AC = 12 cm và BC = 13 cm.
- Nếu C nằm ở tọa độ (0, y), thì ta có:
\[
AC = \sqrt{(0 - 0)^2 + (y - 0)^2} = 12 \Rightarrow |y| = 12 \Rightarrow y = 12 hoặc y = -12
\]
\[
BC = \sqrt{(5 - 0)^2 + (0 - y)^2} = 13
\]
\[
BC = \sqrt{25 + y^2} = 13 \Rightarrow 25 + y^2 = 169 \Rightarrow y^2 = 144 \Rightarrow |y| = 12
\]

Vậy C có thể có tọa độ (0, 12) hoặc (0, -12). Giả sử ta lấy C = (0, 12).

### Tìm M
M là trung điểm của BC. Ta tìm tọa độ của M:
\[
M = \left( \frac{x_B + x_C}{2}, \frac{y_B + y_C}{2} \right) = \left( \frac{5 + 0}{2}, \frac{0 + 12}{2} \right) = \left( \frac{5}{2}, 6 \right)
\]

### Đường tròn tâm A bán kính 6,5 cm
Đường tròn gia đình này có phương trình:
\[
x^2 + y^2 = (6.5)^2 = 42.25
\]

### Kiểm tra khoảng cách từ A đến B, M, C
Ta tính khoảng cách từ A(0, 0) đến từng điểm:
1. **Đối với B(5, 0)**:
\[
AB = \sqrt{(5 - 0)^2 + (0 - 0)^2} = 5 \quad (5 < 6.5 \Rightarrow B nằm trong đường tròn)
\]

2. **Đối với C(0, 12)**:
\[
AC = \sqrt{(0 - 0)^2 + (12 - 0)^2} = 12 \quad (12 > 6.5 \Rightarrow C nằm ngoài đường tròn)
\]

3. **Đối với M(2.5, 6)**:
\[
AM = \sqrt{(2.5 - 0)^2 + (6 - 0)^2} = \sqrt{6.25 + 36} = \sqrt{42.25} = 6.5 \quad (M nằm trên đường tròn)
\]

### Kết luận
- Điểm B nằm **trong** đường tròn.
- Điểm M nằm **trên** đường tròn.
- Điểm C nằm **ngoài** đường tròn.