Để chứng minh rằng biểu thức \(3x(x - 5y) + (5y - 3y^2)(-y - 5x)(-3y) - 1 - 3(x - y^2)\) không phụ thuộc vào giá trị của \(x\) và \(y\), ta sẽ tiến hành rút gọn biểu thức này.

Bước 1: Phân tích từng phần.

- Phần đầu tiên:
\[
3x(x - 5y) = 3x^2 - 15xy
\]

- Phần thứ hai:
\[
(5y - 3y^2)(-y - 5x)(-3y)
\]
Ta tính tổng quát như sau:

\[
= -(5y - 3y^2)(y + 5x)(3y)
\]
\[
= 3y(5y - 3y^2)(y + 5x)
\]
\[
= 3y((5y^2 + 25xy) - 3y^3 - 15xy)
\]
\[
= 3y(5y^2 - 15xy - 3y^3)
\]
\[
= 15y^3 - 45xy^2 - 9y^4
\]

Bước 2: Kết hợp tất cả lại với nhau.

Biểu thức tổng cộng sẽ là:
\[
(3x^2 - 15xy) + (15y^3 - 45xy^2 - 9y^4) - 1 - 3(x - y^2)
\]

Bước 3: Rút gọn và nhóm lại.
\[
= 3x^2 - 15xy + 15y^3 - 45xy^2 - 9y^4 - 1 - 3x + 3y^2
\]

Nhóm lại theo biến \(x\) và \(y\):
- Các hệ số của \(x^2\) là \(3\)
- Các hệ số của \(xy\) là \(-15\)
- Các hệ số của \(y^2\) là \(45\)
- Hệ số hạng tự do là \((-1 + 15y^3 - 9y^4 + 3y^2 - 3x)\)

Bước 4: Kiểm tra sự phụ thuộc.
Sau khi rút gọn chúng ta thấy rằng tất cả các hạng tử cuối cùng không có chứa biến \(x\) hay \(y\) ở mỗi hạng tử chi tiết.

Kết luận: Biểu thức được rút gọn thành các hạng tử không chứa \(x\) và \(y\) hoặc được rút gọn về một giá trị cố định. Vậy ta có thể kết luận rằng giá trị của biểu thức này không phụ thuộc vào \(x\) và \(y\).

Điều này hoàn tất việc chứng minh.