Để giải tam giác vuông ABC tại A với đường cao AH, ta sử dụng định lý Pythagore và các tính chất của tam giác vuông.

### a) AB = 6 cm và AC = 9 cm:

1. Tính độ dài BC:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 = 6^2 + 9^2 = 36 + 81 = 117
\]
\[
BC = \sqrt{117} \approx 10.82 \text{ cm}
\]

2. Tính đường cao AH:
\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{6 \cdot 9}{\sqrt{117}} \approx \frac{54}{10.82} \approx 4.99 \text{ cm}
\]

### b) AB = 15 cm và HB = 9 cm:

1. Tính AC:
Sử dụng định lý Pythagore:
\[
AB^2 = AH^2 + HB^2 \Rightarrow AH^2 = AB^2 - HB^2 = 15^2 - 9^2 = 225 - 81 = 144
\]
\[
AH = \sqrt{144} = 12 \text{ cm}
\]

2. Tính AC:
\[
AC = \frac{AB \cdot AH}{AB} = \frac{15 \cdot 12}{15} = 12 \text{ cm}
\]

3. Tính BC:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 = 15^2 + 12^2 = 225 + 144 = 369
\]
\[
BC = \sqrt{369} \approx 19.21 \text{ cm}
\]

### c) AC = 44 cm và BC = 55 cm:

1. Tính AB:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2 \Rightarrow AB^2 = BC^2 - AC^2 = 55^2 - 44^2 = 3025 - 1936 = 1089
\]
\[
AB = \sqrt{1089} = 33 \text{ cm}
\]

2. Tính đường cao AH:
\[
AH = \frac{AB \cdot AC}{BC} = \frac{33 \cdot 44}{55} = \frac{1452}{55} \approx 26.4 \text{ cm}
\]

### Kết luận:
- a) BC ≈ 10.82 cm, AH ≈ 4.99 cm.
- b) AC = 12 cm, BC ≈ 19.21 cm, AH = 12 cm.
- c) AB = 33 cm, AH ≈ 26.4 cm.