Để giải bài toán này, ta cần sử dụng một số định lý hình học cơ bản liên quan đến tam giác vuông.

### a) Tìm độ dài các đoạn thẳng BH, CH, AB và AC.

1. **Tính độ dài AB và AC**:
- Trong tam giác vuông \(ABC\), theo định lý Pythagoras, ta có:
\[
AB^2 + AC^2 = BC^2
\]
- Với \(BC = 25cm\), ta có:
\[
AB^2 + AC^2 = 25^2 = 625
\]

2. **Tính BH và CH**:
- Độ dài các đoạn thẳng \(BH\) và \(CH\) có thể được tính qua công thức của đoạn cao trong tam giác:
\[
AH = \frac{AB \times AC}{BC}
\]
- Thay các giá trị vào, ta có:
\[
12 = \frac{AB \times AC}{25}
\]
- Từ đó, suy ra:
\[
AB \times AC = 12 \times 25 = 300
\]

3. **Giải hệ phương trình**:
- Ta có hệ phương trình:
\[
AB^2 + AC^2 = 625 \quad (1)
\]
\[
AB \times AC = 300 \quad (2)
\]
- Giả sử \(AB = x\) và \(AC = y\). Thay \(y = \frac{300}{x}\) vào phương trình (1):
\[
x^2 + \left(\frac{300}{x}\right)^2 = 625
\]
- Giải phương trình này để tìm \(x\) và \(y\):
\[
x^2 + \frac{90000}{x^2} = 625
\]
- Nhân cả hai vế với \(x^2\):
\[
x^4 - 625x^2 + 90000 = 0
\]
- Đặt \(z = x^2\), ta có:
\[
z^2 - 625z + 90000 = 0
\]
- Giải phương trình bậc 2 này:
\[
z = \frac{625 \pm \sqrt{625^2 - 4 \cdot 90000}}{2}
\]
- Sau khi tính toán, ta tìm được giá trị \(z\), từ đó tính ra \(x\) và \(y\).

### b) Vẽ trung tuyết AM và tìm số đo của góc \(AMH\).

- \(AM\) là trung tuyến nối điểm \(A\) với trung điểm \(M\) của đoạn BC.
- Để tìm số đo góc \(AMH\), ta sử dụng tính chất của tam giác và các định lý liên quan đến góc và cạnh trong tam giác vuông.

### c) Tính diện tích tam giác \(AHM\).

- Diện tích tam giác \(AHM\) có thể tính bằng công thức:
\[
\text{Diện tích} = \frac{1}{2} \times AH \times HM
\]
- Trong đó \(HM\) là độ dài đoạn thẳng từ \(H\) đến \(M\) (trung điểm của \(BC\)). Ta sẽ cần tính độ dài \(HM\) dựa vào các độ dài đã tìm được.

Sau khi thực hiện các tính toán cụ thể, ta sẽ có kết quả cho các đoạn thẳng yêu cầu và diện tích của tam giác \(AHM\).