Để giải bài toán đã cho, ta thực hiện các bước sau:

### a) Tính giá trị của biểu thức \( A \) khi \( x = -1 \)

Biểu thức \( A \) được cho là:
\[
A = \frac{x^3 + 5x}{3x + 5}
\]

Thay \( x = -1 \):
\[
A = \frac{(-1)^3 + 5(-1)}{3(-1) + 5} = \frac{-1 - 5}{-3 + 5} = \frac{-6}{2} = -3
\]

### b) Rút gọn biểu thức \( P = A \cdot B \)

Biểu thức \( B \) là:
\[
B = \frac{4}{x - 5} + \frac{2}{x + 5}
\]

Để cộng hai phần, ta sẽ quy đồng:
\[
B = \frac{4(x + 5) + 2(x - 5)}{(x - 5)(x + 5)} = \frac{4x + 20 + 2x - 10}{(x - 5)(x + 5)} = \frac{6x + 10}{(x - 5)(x + 5)}
\]
\[
= \frac{2(3x + 5)}{(x - 5)(x + 5)}
\]

Giờ ta tính \( P = A \cdot B \):
\[
P = \left( \frac{x^3 + 5x}{3x + 5} \right) \cdot \left( \frac{2(3x + 5)}{(x - 5)(x + 5)} \right)
\]

Rút gọn:
\[
P = \frac{2(x^3 + 5x)}{3x + 5} \cdot \frac{(3x + 5)}{(x - 5)(x + 5)} = \frac{2(x^3 + 5x)}{(x - 5)(x + 5)}
\]

### c) Tìm \( x \) nguyên sao cho \( P \) nhận giá trị là số nguyên

Ta có:
\[
P = \frac{2(x^3 + 5x)}{(x - 5)(x + 5)}
\]

Để \( P \) là số nguyên, \( (x - 5)(x + 5) \) phải chia hết cho \( 2(x^3 + 5x) \).

Do độ lớn của \( (x - 5)(x + 5) \) cao hơn bậc của \( x^3 + 5x \), ta thử một số giá trị nguyên cho \( x \):

- Tính các giá trị cho từng \( x \) trong một miền cụ thể để tìm các giá trị nhận về là số nguyên.

Ví dụ thử với \( x = -4, -3, -2, -1, 0, 1, ..., 10 \), và kiểm tra xem \( P \) có là số nguyên hay không.

Nếu bạn cần kết quả cụ thể cho từng giá trị, hãy cho tôi biết.