Cho hai đa thức \( P = -9x^2 + 8xy + y^2 \) và \( Q = -2y^2 + 4x^2 - 8xy \). Chứng minh rằng không tồn tại giá trị nào của \( x \) và \( y \) để hai đa thức \( P \) và \( Q \) cùng có giá trị dương

Để chứng minh rằng không tồn tại giá trị nào của \( x \) và \( y \) sao cho hai đa thức \( P \) và \( Q \) cùng có giá trị dương, chúng ta sẽ xét hai đa thức này kỹ lưỡng.

### 1. Xét đa thức \( P \):
Đa thức \( P = -9x^2 + 8xy + y^2 \) có thể viết lại dưới dạng ma trận:

\[
P(x,y) = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} -9 & 4 \\ 4 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}
\]

Chúng ta cần xác định xem ma trận này có định thức dương hay không. Định thức của ma trận sẽ được tính như sau:

\[
\text{det} = (-9) \cdot 1 - 4 \cdot 4 = -9 - 16 = -25
\]

Vì định thức âm, điều này cho thấy rằng đa thức \( P \) không thể đạt giá trị dương cho tất cả các \( (x, y) \).

### 2. Xét đa thức \( Q \):
Đa thức \( Q = -2y^2 + 4x^2 - 8xy \) cũng có thể chuyển sang dạng ma trận tương tự:

\[
Q(x,y) = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & -4 \\ -4 & -2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}
\]

Tính định thức của ma trận:

\[
\text{det} = 4 \cdot (-2) - (-4) \cdot (-4) = -8 - 16 = -24
\]

Tương tự như \( P \), đa thức \( Q \) cũng có định thức âm, vì vậy nó cũng không thể đạt giá trị dương cho mọi \( (x, y) \).

### 3. Tóm tắt
Với cả hai đa thức \( P \) và \( Q \) đều không thể dương tại mọi giá trị \( x, y \) do định thức âm của các ma trận tương ứng, chúng ta có thể kết luận rằng:

**Không tồn tại giá trị nào của \( x \) và \( y \) để hai đa thức \( P \) và \( Q \) cùng có giá trị dương.**