Để tìm tổng các phần tử của tập hợp \( X \cap Y \), chúng ta bắt đầu bằng cách xác định các phần tử của từng tập hợp.

1. Tập hợp \( X \):
\[
X = \{ x \in \mathbb{R} : x - 1 = 0 \} \Rightarrow x = 1 \Rightarrow X = \{ 1 \}
\]

2. Tập hợp \( Y \):
\[
Y = \{ x \in \mathbb{R} : 2 - x = 1 \} \Rightarrow x = 1 \Rightarrow Y = \{ 1 \}
\]

Bây giờ, chúng ta tìm giao của hai tập hợp:
\[
X \cap Y = \{ 1 \} \cap \{ 1 \} = \{ 1 \}
\]

Cuối cùng, tổng các phần tử của tập hợp \( X \cap Y \) là:
\[
1
\]

Vậy, đáp án là **A: 1**.