Để tìm giá trị của \( m \) sao cho đường thẳng \( y = 2x + m - 3 \) cắt đường thẳng \( y = x - 3 \) tại điểm có tung độ bằng -2, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. **Xác định tọa độ của điểm giao nhau**: Gọi điểm giao nhau có tung độ bằng -2. Ta có thể thay \( y \) vào phương trình của hai đường thẳng.

2. **Tìm hoành độ của điểm giao nhau**:
- Từ đường thẳng \( y = x - 3 \):
\[
-2 = x - 3 \implies x = 1
\]
- Vậy tọa độ giao nhau là \( (1, -2) \).

3. **Thay vào phương trình đường thẳng thứ hai để tìm \( m \)**:
- Thay \( x = 1 \) vào phương trình \( y = 2x + m - 3 \):
\[
-2 = 2(1) + m - 3 \implies -2 = 2 + m - 3 \implies -2 = m - 1
\]
- Giải phương trình trên:
\[
m - 1 = -2 \implies m = -1
\]

Vậy, giá trị của \( m \) để hai đường thẳng cắt nhau tại điểm có tung độ bằng -2 là \( \boxed{-1} \).