Để chứng minh tứ giác \(ABDC\) là hình chữ nhật, ta thực hiện các bước sau:

1. **Xác định tính vuông góc**: Do tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\), các cạnh \(AB\) và \(AC\) vuông góc với nhau. Do đó, góc \(CAB = 90^\circ\).

2. **Xác định các đường thẳng và tính chất song song**: Theo đề bài, ta có các điểm \(H \in AB\) và \(K \in AC\). Ta kẻ đường thẳng \(AD\) (đường trung tuyến) và các đường thẳng \(DH\) và \(DK\) song song với \(AC\) và \(AB\) tương ứng.

3. **Áp dụng tính chất của hình chữ nhật**: Để tứ giác \(ABDC\) là hình chữ nhật, ta cần chứng minh:
- \(AB \parallel DC\) và \(AD \parallel BC\).
- Góc \(ABD = 90^\circ\) (hoặc mọi góc trong tứ giác đều bằng \(90^\circ\)).

4. **Kết luận**: Do \(AD \parallel DK\) và \(DH \parallel AB\), và vì các góc \(A\) và \(D\) đều vuông góc, suy ra tứ giác \(ABDC\) là hình chữ nhật.

Do đó, \(ABDC\) là hình chữ nhật như đã chứng minh.