Cho tam giác vuông ABC có đường trung tuyến AD. Biết \( AC = 3cm \) và \( \angle ACB = 60° \). Tính độ dài của đoạn AD? Cho tam giác vuông ABC có đường trung tuyến AD. Biết \( AC = AD \). Tính số đo của \( \angle ABC \)

Để giải bài toán, chúng ta sẽ sử dụng các định lý về tam giác vuông và tính chất của đoạn trung tuyến.

1. **Tính độ dài của đoạn AD trong tam giác ABC:**
- Tam giác vuông \( ABC \) với \( AC = 3 \, cm \) và \( \angle ACB = 60^\circ \).
- Sử dụng định lý Pythagoras:
- \( AB = AC / \sin(60^\circ) = 3 / \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = 2\sqrt{3} \, cm \).
- Độ dài của \( BC \):
- \( BC = AC \cdot \tan(60^\circ) = 3 \cdot \sqrt{3} \, cm \).
- Đoạn trung tuyến \( AD \) trong tam giác vuông tính bằng công thức:
\[
AD = \frac{1}{2} \sqrt{2AB^2 + 2AC^2 - BC^2}
\]
- Thay các giá trị:
\[
AD = \frac{1}{2} \sqrt{2(2\sqrt{3})^2 + 2(3)^2 - (3\sqrt{3})^2}
\]
\[
= \frac{1}{2} \sqrt{2 \cdot 12 + 18 - 27} = \frac{1}{2} \sqrt{24 + 18 - 27} = \frac{1}{2} \sqrt{15} \approx 6,5 \, cm
\]

2. **Tìm số đo của \( \angle ABC \) khi \( AC = AD \):**
- Trong trường hợp này, \( AC \) và \( AD \) là hai cạnh của tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \).
- Nếu \( AC = AD \), thì tam giác \( ACD \) là tam giác đều (tại \( A \)), do đó \( \angle ABC = 30^\circ \) (vì tổng ba góc trong tam giác là \( 180^\circ \)).

**Kết luận:**
- Độ dài của đoạn \( AD \) là khoảng \( 6,5 \, cm \).
- Số đo của \( \angle ABC \) là \( 30^\circ \).