Để chứng minh tứ giác ABCD là hình thang vuông, ta có thể làm theo các bước sau:

### a) Chứng minh tứ giác ABCD là hình thang vuông:

1. **Dữ kiện:**
- Có \( \angle A = \angle B \)
- \( BC = CD \)
- DB là tia phân giác của góc D.

2. **Sử dụng định lý về góc:**
- Do DB là tia phân giác của góc D, nên \( \angle ADB = \angle BDC \).
- Vì \( \angle A = \angle B \), ta có \( \angle ADB = \angle A \) và \( \angle BDC = \angle B \).

3. **Xét khả năng tạo thành các tam giác:**
- Từ điều kiện trên, ta có hai góc bằng nhau (\( \angle ADB = \angle BDC \)), điều này cho thấy \( AD \parallel BC \) (theo định lý góc trong).

4. **Kết luận:**
- Khi \( AD \parallel BC \) và \( BC = CD \), điều này dẫn đến việc tứ giác ABCD là hình thang, với AB vuông góc với AD và BC.

### b) Chứng minh \( AC^2 + AD^2 = BC^2 + BD^2 \):

1. **Sử dụng định lý Pythagore:**
- Từ điều kiện \( AD \) vuông góc với \( BC \):
\[
AC^2 = AB^2 + AD^2
\]
\[
BD^2 = CD^2 + BC^2
\]

2. **Kết hợp các công thức:**
- Thay vào biểu thức cần chứng minh:
\[
AC^2 + AD^2 = (AB^2 + AD^2) + (CD^2 + BC^2)
\]
- Từ đó rút ra được điều cần chứng minh.

### c) Về bài tập 34.1:

1. Tính \( AH, SADE \) và \( S_{ABCD} \):
- Sử dụng công thức tính diện tích:
- \( S_{ABCD} = \frac{1}{2} \times (AB + CD) \times h \)
- Tính văn tự ở các đoạn \( AH, AB, AD \) theo chiều cao và các cạnh.

2. **Kết luận:**
- Tất cả các bước làm trong bài tập sẽ giúp chứng minh và tính toán cho tứ giác đã cho.

Nếu cần thêm thông tin hoặc chi tiết cụ thể trong từng bước, bạn hãy cho tôi biết!