Một hệ gồm ba lò xo giống nhau hoàn toàn có cùng độ cứng k. Ba vật cùng kích thước có khối lượng m có thể trượt không ma sát trên mặt phẳng ngang được gắn với ba lò xo thành một tam giác đều

Để chứng minh rằng mỗi vật trong hệ dao động điều hòa và tìm chu kỳ dao động, ta sẽ sử dụng các khái niệm về dao động điều hòa và lực hồi phục từ các lò xo.

Giả sử ba vật có khối lượng m được nối với nhau bằng các lò xo có độ cứng k. Khi ta dời các vật ra khỏi vị trí cân bằng mà vẫn giữ dạng một tam giác đều, các lò xo sẽ trải qua một độ biến dạng nhất định. Lực hồi phục từ lò xo sẽ làm cho các vật quay về vị trí cân bằng.

### Bước 1: Phân tích lực

Khi một trong ba vật được dời ra khỏi vị trí cân bằng một khoảng x, ta sẽ thấy rằng mỗi lò xo chịu tác động của hai lực hồi phục từ lò xo nối với hai vật còn lại. Do cấu trúc của tam giác đều, các lực hồi phục này sẽ tạo ra một lực tổng hợp làm cho vật di chuyển theo một phương nhất định.

### Bước 2: Tính lực hồi phục

Giả sử ta dời vật 1 ra xa khỏi vị trí cân bằng một đoạn \( x_1 \), vật 2 ra xa một đoạn \( x_2 \), vật 3 ra xa một đoạn \( x_3 \). Ta kết hợp các lực hồi phục từ ba lò xo và thiết lập phương trình. Lực hồi phục từ một lò xo có độ cứng k đối với một vật có độ biến dạng x là \( F = -kx \).

### Bước 3: Thiết lập phương trình chuyển động

Khi một trong ba vật dao động, nhờ nguyên lý superposition, vật này sẽ bị ảnh hưởng bởi cả hai lực hồi phục từ lò xo nối nó với hai vật còn lại. Chúng ta có thể nói rằng lực tổng hợp tác dụng lên mỗi vật sẽ tỉ lệ với độ biến dạng của các lò xo và tổng hợp theo hướng hồi phục về vị trí cân bằng.

### Bước 4: Chu kỳ dao động

Từ định luật Hooke, lực hồi phục có thể được tổng hợp lại thành một lực hồi phục tương đương cho mỗi vật với hằng số đàn hồi hiệu dụng. Nếu chúng ta xét từng vật làm một hệ thống riêng lẻ, ta có thể tìm được chu kỳ dao động bằng công thức chu kỳ cơ bản của dao động điều hòa:

\[
T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k_{\text{eff}}}}
\]

Với \( k_{\text{eff}} \) là hằng số đàn hồi hiệu dụng cho hệ lò xo. Trong một tam giác đều, suất hồi phục sẽ tăng do sự tương tác giữa các lò xo. Hằng số này có thể được tính toán qua cách xem các lò xo tương tác với nhau.

Khi tìm \( k_{\text{eff}} \), chúng ta có thể thấy rằng nó sẽ tỉ lệ thuận với độ cứng của các lò xo, như sau:

\[
k_{\text{eff}} = 3k
\]

do có ba lò xo cùng ảnh hưởng đến mỗi vật.

### Kết luận

Vậy chu kỳ dao động của mỗi vật trong hệ ba vật được nối bởi ba lò xo đồng nhất sẽ là:

\[
T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{3k}}
\]

Vì vậy, mỗi vật dao động điều hòa với chu kỳ như trên.