Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm kích thước của bồn nước có dạng hình hộp đứng mà không có nắp, với thể tích là \( \frac{4}{3} \, m^3 \).

Gọi chiều rộng của bồn nước là \( x_0 \) (m), chiều dài là \( 2x_0 \) (m) và chiều cao là \( h \) (m). Thể tích của bồn nước được tính bằng công thức:

\[
V = x_0 \times (2x_0) \times h = 2x_0^2 \times h
\]

Theo bài toán, thể tích này bằng \( \frac{4}{3} \, m^3 \):

\[
2x_0^2 \times h = \frac{4}{3}
\]

Từ đây, ta có:

\[
h = \frac{4}{3 \cdot 2x_0^2} = \frac{2}{3x_0^2}
\]

Trong bài đã cho điều kiện để chi phí xây dựng là thấp nhất khi \( h = x_0 \). Thay thế vào phương trình trên, ta có:

\[
x_0 = \frac{2}{3x_0^2}
\]

Giải phương trình:

\[
x_0^3 = \frac{2}{3} \rightarrow x_0^3 = \frac{2}{3} \Rightarrow x_0 = \sqrt[3]{\frac{2}{3}} \approx 0.874
\]

Sau đó, ta kiểm tra xem các khoảng giá trị \( x_0 \) nào phù hợp với bài toán đã cho:

- A. \( 0 < x_0 < 0.8 \): Không phù hợp.
- B. \( 1 < x_0 < 1.5 \): Không phù hợp.
- C. \( 0.8 < x_0 < 1.2 \): Phù hợp.
- D. \( 1.5 < x_0 < 2 \): Không phù hợp.

Vậy đáp án đúng là C: \( 0.8 < x_0 < 1.2 \).