Để chứng minh hai hình tam giác \(\triangle AMB\) và \(\triangle ANC\) bằng nhau, ta có thể sử dụng các yếu tố như cạnh, góc và định lý tam giác.

### a) Chứng minh \(\triangle AMB = \triangle ANC\)

1. **Cạnh chung**: \(AM = AN\) (do \(AB = AC\) và \(BM = CN\) đều vuông góc với \(AC\) và \(AB\)).

2. **Góc**:
- \(\angle AMB = \angle ANC = 90^\circ\) (do các đường vuông góc).

3. **Cạnh**:
- \(MB = NC\) (cùng nằm trong tam giác cân \(\triangle ABC\) với \(AB = AC\)).

Từ hình vẽ và các yếu tố trên, ta có:
- Cạnh \(AM\) = Cạnh \(AN\),
- Góc \(\angle AMB = \angle ANC = 90^\circ\),
- Cạnh \(MB = NC\).

Vậy theo tiêu chí \(Cạnh - Góc - Cạnh\) (C-G-C), ta suy ra:
\[
\triangle AMB = \triangle ANC
\]

### b) Chứng minh \(\triangle BCN = \triangle CBM\)

Tương tự, chúng ta sẽ chứng minh rằng \(\triangle BNC\) và \(\triangle BMC\) bằng nhau.

1. **Cạnh chung**: \(BC\) là cạnh chung.
2. **Góc**:
- \(\angle BNC = \angle BMC = 90^\circ\) (cũng do các đường vuông góc).
3. **Cạnh**:
- \(BN = CM\) (như đã lập luận từ tam giác cân \(ABC\)).

Với các yếu tố này, ta áp dụng tiêu chí \(Cạnh - Góc - Cạnh\) (C-G-C):
\[
\triangle BCN = \triangle CBM
\]

### Kết luận:

Chúng ta đã chứng minh được cả hai hình tam giác cần thiết:
1. \(\triangle AMB = \triangle ANC\)
2. \(\triangle BCN = \triangle CBM\)