Cho tam giác ABC vuông tại A (AB < AC). Lấy M là một điểm trên cạnh BC sao cho BM > MC và M khác C . Gọi N và D lần lượt là hình chiếu vuông góc với điểm M trên các cạnh AB và AC . a) Cm : Tứ giác ADMN là hcn b) Trên tia đối của tia NM lấy ..

Để chứng minh các tính chất của các tứ giác và các điểm mà bạn đã nêu, ta sẽ bước qua từng phần một.

### a) Chứng minh tứ giác ADMN là hình chữ nhật
Lấy tam giác vuông ABC tại A, với AB < AC.

1. Vì N là hình chiếu vuông góc của M trên AB, nên MN vuông góc với AB.
2. Tương tự, D là hình chiếu vuông góc của M trên AC, nên MD vuông góc với AC.
3. Do AB vuông góc với AC (tính chất của tam giác vuông tại A), nên MN vuông góc với MD.
4. Ta cũng có AD = NA (vì AD là đoạn thẳng nối từ A đến D, và N là hình chiếu của M lên AB, trong khi D là hình chiếu lên AC).

Từ các yếu tố trên, ta thấy rằng tứ giác ADMN có bốn góc vuông (MN vuông góc với AB và MD vuông góc với AC), và AD = MN, AN = DM. Do vậy, tứ giác ADMN là hình chữ nhật.

### b) Chứng minh tứ giác APND là hình bình hành

1. Ta có NM = NP theo yêu cầu đề bài.
2. Bởi vì D là hình chiếu của M lên AC và N hình chiếu của M lên AB, ta có:
- AD // NP (do D và P nằm trên cùng đường thẳng AC).
- An cũng tương tự, MN // AP.

Vì hai cặp cạnh đối song song và có chiều dài bằng nhau (NM = NP), ta có thể kết luận rằng tứ giác APND là hình bình hành.

### c) Chứng minh O là trung điểm của đoạn QM và góc AQN = góc ADN

1. Đưa ra điểm Q là chân đường vuông góc từ M đến đường thẳng AP.
2. Do O là giao điểm của đoạn thẳng QM và ND, trong đó:
- QM = QO + OM
- ND = NO + OD.

Vì N và D lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên AB và AC, nên O sẽ nằm chính giữa QM (mỗi hình chiếu tạo ra một đoạn thẳng theo chiều dài tương ứng).

3. Để chứng minh góc AQN = góc ADN:
- Từ tính chất hình chiếu vuông góc, ta có AQ vuông góc với AP (bởi AQ là đường vuông góc kẻ từ A đến AP).
- Tương tự, AD vuông góc với AC.

Cho rằng góc AQN liên quan đến một góc vuông và tương tự với góc ADN; góc AQN = góc ADN vì cả hai đều có chung lượng vuông và cùng hình chiếu từ M đến các cạnh.

Như vậy, ta có thể khẳng định O là trung điểm của đoạn thẳng QM và góc AQN = góc ADN.

### Kết luận
Tất cả các bài toán và chứng minh trên đều được hoàn chỉnh với các kết luận hợp lý chứng minh rằng các tứ giác là hình chữ nhật, hình bình hành, và các góc có sự liên quan chặt chẽ.