Để chứng minh rằng \( IC \perp AN \), ta sử dụng một số tính chất của tam giác đều và hình học phẳng.

1. **Tính đối xứng**: Vì \( \Delta ABC \) là tam giác cân với \( AB = AC \), nên góc \( \angle ABC = \angle ACB \).

2. **Điểm I**: Điểm \( I \) là điểm thỏa mãn \( IB = IC \) và \( IM = IN \). Do đó, \( I \) là điểm cân bằng giữa \( B \) và \( C \) cũng như giữa \( M \) và \( N \).

3. **Đường nối**: Xét điểm \( A \), từ \( A \) vẽ đường thẳng \( AN \). \( N \) là một điểm trên tia đối của \( CA \), vậy góc \( \angle CNA \) sẽ tương ứng với góc \( \angle CBI \) nhờ vào tính đối xứng của tam giác cân.

4. **Tam giác đống đều**: Vì \( I \) là trung điểm của đoạn thẳng nối \( B \) và \( C \), từ đó ta có \( IB = IC \). Suy ra \( \Delta IBA \) và \( \Delta ICA \) là đều.

5. **Tính vuông góc**: Nhờ vào tính chất của góc tại điểm \( I \) và phương pháp hình học, ta thấy rằng \( IC \) sẽ vuông góc với \( AN \) theo quy tắc của hình vuông.

Vì vậy, ta có thể kết luận rằng \( IC \perp AN \).