Bài tập  /  Bài đang cần trả lời

Giải bài có thưởng!

Cho a + b > 0, CMR \( a^3 + b^3 \geq a.b(a + b) \)

----- Nội dung ảnh -----
BÀI TẬP:
Làm bài nțin hình cêac:
Bài 1: Cho a + b > 0, CMR \( a^3 + b^3 \geq a.b(a + b) \)
Bài 2: Cho \( a, b, c > 0, a + b + c = 1 \), CMR \( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \geq \frac{9}{a + b + c} \)

Câu 3: Cho \( a, b > 0 \) và \( a.b = 2 \), CMR \( \frac{1}{1 + a^2} + \frac{1}{1 + b^2} \geq \frac{2}{1 + a + b} \)
0 Xem trả lời
Hỏi chi tiết
29
Tham khảo câu trả lời từ Trợ lý ảo Lazi
The problem appears to be a mathematical inequality involving \( a \) and \( b \) with the condition \( a + b > 0 \). You are asked to prove that \( a^3 + b^3 \geq ab(a + b) \).

This is a classic result in algebra that can be proven using the factorization of cubes or the concept of inequalities.

### Proof:

1. **Factorization of Cubes**:
The left-hand side \( a^3 + b^3 \) can be factored as:
\[
a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)
\]
Thus, we need to show:
\[
(a + b)(a^2 - ab + b^2) \geq ab(a + b)
\]

2. **Assuming \( a + b > 0 \)**:
Since \( a + b > 0 \), we can divide both sides of the inequality by \( a + b \) (which does not change the direction of the inequality):
\[
a^2 - ab + b^2 \geq ab
\]

3. **Rearranging**:
Rearranging gives us:
\[
a^2 - 2ab + b^2 \geq 0
\]
which simplifies to:
\[
(a - b)^2 \geq 0
\]

4. **Conclusion**:
Since \( (a - b)^2 \) is always non-negative, we conclude that:
\[
a^3 + b^3 \geq ab(a + b)
\]
Thus, the inequality holds.

This completes the proof. Therefore, \( a^3 + b^3 \geq ab(a + b) \) when \( a + b > 0 \).

Bạn hỏi - Lazi trả lời

Bạn muốn biết điều gì?

GỬI CÂU HỎI
Học tập không giới hạn cùng học sinh cả nước và AI, sôi động, tích cực, trải nghiệm

Hôm nay bạn thế nào? Hãy nhấp vào một lựa chọn, nếu may mắn bạn sẽ được tặng 50.000 xu từ Lazi

Vui Buồn Bình thường
×
Trợ lý ảo Trợ lý ảo
×
Đấu trường tri thức | Lazi Quiz Challenge +500k
Gửi câu hỏi
×