Cho đường tròn tâm, O bán kính r, đường kính BC. Lấy điểm A thuộc đường tròn tâm O. Gọi H là trung điểm của AC, tia Oh cắt đường tròn tâm O, tại M từ a Vẽ tiếp tuyến với đường tròn tâm O cắt OM tại N

Để giải bài toán này, ta sẽ làm từng phần một.

### a) Chứng minh rằng \( OM \) song song với \( AB \)

1. Gọi \( C \) và \( B \) là hai điểm trên đường tròn \( O \) sao cho \( BC \) là đường kính của đường tròn. Điều này có nghĩa là \( OB \) và \( OC \) là hai bán kính.

2. Điểm \( A \) thuộc đường tròn \( O \), do đó \( OA = r \).

3. Gọi \( H \) là trung điểm của đoạn thẳng \( AC \). Theo định nghĩa, ta có \( AH = HC \) và \( H \) nằm trên cạnh \( AC \).

4. Tia \( OH \) sẽ cắt đường tròn \( O \) tại điểm \( M \). Theo tính chất của đường tròn, điểm \( M \) sẽ là một điểm trên đường tròn, nghĩa là \( OM \) cũng là một bán kính của đường tròn \( O \).

5. Khi \( AB \) là đường kính, theo định lý về góc chắn đường kính, ta có góc \( AOB \) là góc vuông. Vì vậy, \( OA \perp AB \).

6. Do đó, trong tam giác \( OAH \):
- \( OH \) là đường trung tuyến, và \( AH \) vuông góc với \( OB \) (vì \( AB \) là đường kính),
- Às thì \( AH \parallel OM \) (vì cả hai đường đều cắt nhau tại một góc vuông với bán kính),
- Cuối cùng, suy ra \( OM \parallel AB \).

### b) Chứng minh rằng \( CN \) là tiếp tuyến của đường tròn tâm \( O \)

1. Theo định nghĩa về tiếp tuyến, một đường thẳng là tiếp tuyến của đường tròn nếu nó vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc.

2. Tia \( OM \) vuông góc với \( CN \) tại điểm \( N \) (bởi vì \( N \) là điểm trên đường thẳng \( CN \) mà ta vẽ từ \( A \)).

3. Khi \( N \) là điểm cắt của tiếp tuyến tại đường tròn, và \( CN \) cắt đường tròn tại điểm \( C \). Vì do tính chất của đường tròn, ta biết rằng điểm tiếp xúc \( N \) nằm trên đường thẳng nối giữa tâm \( O \) và cắt qua các đường thẳng nối từ \( O \) đến đường tròn tại các điểm tương ứng.

4. Bởi vậy, ta có \( CN \) vuông góc với \( OC \). Thay vào đó, tiếp điểm mà \( OM \) cắt là đường tròn tại điểm \( C \).

5. Suy ra, \( CN \) là tiếp tuyến tại điểm \( C \).

Như vậy, từ các bước chứng minh trên, ta kết luận rằng \( OM \) song song với \( AB \) và \( CN \) là tiếp tuyến của đường tròn và hoàn tất bài toán.