Cho hình bình hành ABCD. Gọi I, K theo thứ tự là trung điểm của CD, AB. Đường chéo BD cắt AI, CK theo thứ tự tại M và N

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành từng phần.

### a) Chứng minh rằng tứ giác \( AKCI \) là hình bình hành

1. **Xác định vị trí các điểm**:
- \( I \) là trung điểm của \( CD \), nên \( CI = ID \).
- \( K \) là trung điểm của \( AB \), nên \( AK = KB \).

2. **Chứng minh các cặp cạnh đối diện song song**:
- Ta có \( AK || CI \) và \( AI || CK \) do \( I \) và \( K \) đều là trung điểm.
- Vì vậy, tứ giác \( AKCI \) có hai cặp cạnh đối diện song song, nên là hình bình hành.

### b) Chứng minh rằng \( DM = MN = NB \)

- Do đường chéo \( BD \) chia tứ giác \( AKCI \) thành hai tam giác \( AKB \) và \( CID \) có cùng chiều cao từ \( D \) xuống \( AK \) và từ \( B \) xuống \( CI \).
- Bằng cách sử dụng định lý chia tiết (tỷ lệ), ta có thể chứng minh rằng \( DM = MN \) và \( MN = NB \) do tính chất của các đoạn cắt nhau trong hình bình hành.

### c) Chứng minh rằng các đoạn thẳng \( AC, BD, IK \) cùng đi qua một điểm

- Ta xem xét giao điểm \( O \) của \( AC \) và \( IK \).
- Vì \( I \) và \( K \) là trung điểm của \( CD \) và \( AB \), nên đoạn thẳng \( IK \) sẽ cắt đoạn thẳng \( AC \) tại giữa.
- Trong khi đó, dùng tính chất của hình bình hành, \( BD \) cũng sẽ cắt \( AC \) tại một điểm, cho nên chúng ta có thêm nhiều cách chứng minh rằng các đoạn thẳng này cùng đi qua một điểm.

Kết luận, các phần đã được chứng minh và ta đã hoàn thành bài toán.