Để chứng minh rằng với mọi điểm O, ta có vectơ \( \vec{OK} = \frac{2}{3} \vec{OB} + \frac{1}{3} \vec{OA} \), ta cần hiểu rõ về cách biểu diễn các vectơ.

Giả sử rằng:
- Điểm \( O \) là gốc toạ độ.
- Điểm \( A \) và \( B \) có các vectơ lần lượt là \( \vec{OA} \) và \( \vec{OB} \).

Điểm \( K \) nằm trên đoạn thẳng \( AB \) được xác định bởi tỉ lệ \( \frac{2}{3} \) và \( \frac{1}{3} \). Điều này có nghĩa là \( K \) chia đoạn thẳng \( AB \) theo tỉ lệ \( 2:1 \).

Theo định nghĩa của điểm chia đoạn thẳng tỉ lệ:
- Vectơ từ \( O \) tới \( K \) có thể được tính bằng công thức:
\[
\vec{OK} = \frac{1}{m+n} (n \vec{A} + m \vec{B})
\]
Trong đó \( A \) và \( B \) là các điểm \( A \) và \( B \), \( m \) là tỉ lệ đối diện với điểm \( K \) và \( n \) là tỉ lệ đối diện với điểm \( A \).

Áp dụng vào trường hợp của ta với \( m = 2 \) và \( n = 1 \):
\[
\vec{OK} = \frac{1}{2+1} (1 \vec{OA} + 2 \vec{OB}) = \frac{1}{3} \vec{OA} + \frac{2}{3} \vec{OB}
\]

Ta có thể viết lại thành:
\[
\vec{OK} = \frac{2}{3} \vec{OB} + \frac{1}{3} \vec{OA}
\]

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng với mọi điểm O, vectơ \( \vec{OK} = \frac{2}{3} \vec{OB} + \frac{1}{3} \vec{OA} \) là đúng.

Điều đó có nghĩa là tỉ lệ này giữ cho mọi lựa chọn của điểm O, nên kết quả vẫn luôn đúng cho mọi điểm O.