Chứng minh x^2 - 2x + 3 > 0 với mọi x

Để chứng minh bất thức \( x^2 - 2x + 3 > 0 \) với mọi \( x \), ta sẽ sử dụng phương pháp kiểm tra nghiệm của hàm số này.

1. **Tính biểu thức**: Xét hàm bậc hai \( f(x) = x^2 - 2x + 3 \).
2. **Tính delta**: Để xác định xem hàm có nghiệm hay không, ta tính delta:
\[
\Delta = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4 - 12 = -8.
\]
Delta âm cho thấy phương trình bậc hai này không có nghiệm nào trong tập số thực.

3. **Kiểu của hàm số**: Hệ số của \( x^2 \) là dương, nên đồ thị hàm số là một parabol mở lên và không cắt trục hoành.

4. **Kết luận**: Do hàm không có nghiệm thực và giá trị của nó luôn dương, ta có:
\[
x^2 - 2x + 3 > 0 \quad \forall x \in \mathbb{R}.
\]

Vậy ta đã chứng minh được bất thức.